Question

（1999•上海）（1）已知關(guān)于x的方程2x²-3x+m+1=0．
①當m＜0時，求這個方程的根；
②如果這個方程沒有實數(shù)根，求m的取值范圍．
（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0），（0，5），（-1，8），求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出圖象頂點的坐標．
（3）某公司有15名員工，他們所在的部門及相應(yīng)每人所創(chuàng)的年利潤如下表所示

部門	人數(shù)	每人所創(chuàng)的年利潤（萬元）
A	1	20
B	1	5
C	2	2.5
D	4	2.1
E	2	1.5
F	2	1.5
G	3	1.2

根據(jù)表中提供的信息填空：
①該公司每人所創(chuàng)年利潤的平均數(shù)是______萬元；
②該公司每人所創(chuàng)年利潤的中位數(shù)是______萬元；
③你認為應(yīng)該使用平均數(shù)和中位數(shù)中哪一個來描述該公司每人所創(chuàng)年利潤的一般水平？答：______．
（4）已知BE：EC=3：1，S_△FBE=18，求S_△FDA．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)根的判別式來確定m的取值；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），把點（1，0），（0，5），（-1，8）代入該方程，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（3）①平均數(shù)=；
②當一組數(shù)據(jù)從小到大排列后，最中間的數(shù)據(jù)為中位數(shù)（偶數(shù)個數(shù)據(jù)的最中間兩個的平均數(shù)）；
③應(yīng)該用中位數(shù)來描述該公司每人所創(chuàng)年利潤的一般水平；
（4）△FDA∽△FBE，相似三角形的面積比等于相似比．
解答：解：（1）△=（-3）²-4×2（m+1）=1-8m（1分）
①∵m＜0，∴1-8m＞0
∴x=；（3分）
②如果方程沒有實數(shù)根，那么△=1-8m＜0（1分）
∴m的取值范圍是m＞． （1分）

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）（1分）
根據(jù)題意，得：（2分）
解得（2分）
∴函數(shù)的解析式為y=-x²-4x+5．
∵y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9，
∴函數(shù)圖象的頂點的坐標為（-2，9）．（1分）

（3）①15個人每年所創(chuàng)的總利潤：20×1+5×1+2.5×2+2.1×4+1.5×2+1.5×2+1.2×3=48，
∴平均數(shù)===3.2；
故該公司每人所創(chuàng)年利潤的平均數(shù)是3.2萬元．
②當一組數(shù)據(jù)從小到大排列后，最中間的數(shù)據(jù)為中位數(shù)，所以，該公司每人所創(chuàng)年利潤的中位數(shù)是最中間的數(shù)據(jù)2.1．
③平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來一代表數(shù)據(jù)的總體“平均水平”，而中位數(shù)像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”．本題用來來描述該公司每人所創(chuàng)年利潤的一般水平，所以答案是：中位數(shù)．

（4）∵=，∴=（1分）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠FAD=∠FEB，∠FDA=∠FBE（同位角相等），
又∵∠AFD=∠EFB（對頂角相等），
∴△FDA∽△FBE（AAA），（1分）
∴=（2分）
∴=
∴S_△FDA=×S_△FBE=×18=32．（2分）
點評：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
①△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
②△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
③△＜0?方程沒有實數(shù)根．
（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（3）分清平均數(shù)與中位數(shù)：平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（4）相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比．