Question

如圖7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；

（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分？若存在，求此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

解（1）由已知條件得，梯形周長(zhǎng)為12，高4，面積為28.

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BC于K.

則可得，FG＝×4，

所以S_△BEF＝BE·FG＝－x²+x（7≤x≤10）.

（2）存在.由（1）得－x²+x＝14，解這個(gè)方程，得x₁＝7，x₂＝5（不合題意，舍去），

所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，此時(shí)BE＝7.

（3）不存在.假設(shè)存在，顯然有S_△BEF∶S_{多邊形AFECD} ＝1∶2，

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.則有－x²+x＝，

整理，得3x²－24x+70＝0，此時(shí)的求根公式中的b²－4ac＝576－840＜0，

所以不存在這樣的實(shí)數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分.

說(shuō)明　求解本題時(shí)應(yīng)注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x₂＝5時(shí)，并不屬于7≤x≤10，應(yīng)及時(shí)地舍去；三是處理第（3）個(gè)問(wèn)題時(shí)的實(shí)質(zhì)是利用一元二次方程來(lái)探索問(wèn)題的存在性.