Question

在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，0），點P在直線y=-x+m上，且AP=OP=4
求（1）∠POA的正弦值和直線OP的函數(shù)解析式；
（2）求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點A的坐標是（4，0），且AP=OP=4，得出△OPA是等邊三角形，求出∠POA的正弦值，利用當點P在第一象限時，
以及當點P在第四象限時，分別求出直線OP的函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知條件AP=OP=4先求出P點坐標，然后將P點坐標代入直線方程y=-x+m，即可求出m的值．
解答：解：（1）∵OA=4，OP=PA=4，
∴△OPA是等邊三角形，
∴∠POA=60°，
∴sin∠POA=；
過點P作PM⊥x軸于M，
①當點P在第一象限時，
∵AP=OP，
∴點P在線段OA的垂直平分線PM上，
∴OM=OA=2，OP=4，
在Rt△OPM中，由勾股定理得出：
PM===2；
②當點P在第四象限時，根據(jù)對稱性，點P的坐標為P^′（2，-2），
∴點P的坐標為P（2，2）或P^′（2，-2），
設(shè)直線OP的解析式為：y₁=kx，
把P的坐標為P（2，2）代入解析式：
∴2=2k，
解得：k=，
∴y₁=x，
同理可得：y₂=-x，
∴直線OP的解析式為：y₁=x，或y₂=-x，

（2）由已知AP=OP，點P在線段OA的垂直平分線PM上．
∴OA=AP=OP=4，
∴△AOP是等邊三角形．
如圖，當點P在第一象限時，OM=2，OP=4．
在Rt△OPM中，PM=，
∴P（2，）．
∵點P在y=-x+m上，
∴m=2+．
當點P在第四象限時，根據(jù)對稱性，P′（2，-）．
∵點P′在y=-x+m上，
∴m=2-．
則m的值為2+或2-．
點評：此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，做題時要注意數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運用，屬于中檔題．