如圖1所示:等邊△ABC中,線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn),過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B1
(1)請(qǐng)你探究:,是否都成立?
(2)請(qǐng)你繼續(xù)探究:若△ABC為任意三角形,線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn),請(qǐng)問(wèn)一定成立嗎?并證明你的判斷.
(3)如圖2所示Rt△ABC中,∠ACB=90?,AC=8,AB=,E為AB上一點(diǎn)且AE=5,CE交其內(nèi)角角平分線(xiàn)AD于F.試求的值.

【答案】分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,則DB=CD,易得=;由于∠C1AB1=60°,得∠B1=30°,則AB1=2AC1,同理可得到DB1=2DC1,易得=;
(2)過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn),根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義得到∠E=∠CAD=∠BAD,則BE=AB,并且根據(jù)相似三角形的判定得△EBD∽△ACD,得到=,而B(niǎo)E=AB,于是有=,這實(shí)際是三角形的角平分線(xiàn)定理;
(3)AD為△ABC的內(nèi)角角平分線(xiàn),由(2)的結(jié)論得到===,==,又==,則有=,得到DE∥AC,根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF,即有
==
解答:解:(1)兩個(gè)等式都成立.理由如下:
∵△ABC為等邊三角形,AD為角平分線(xiàn),
∴AD垂直平分BC,∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,
∴DB=CD,
=
∵∠C1AB1=60°,
∴∠B1=30°,
∴AB1=2AC1
又∵∠DAB1=30°,
∴DA=DB1,
而DA=2DC1
∴DB1=2DC1,
=;

(2)結(jié)論仍然成立,理由如下:
如右圖所示,△ABC為任意三角形,過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn),
∴∠E=∠CAD=∠BAD,
∴BE=AB,
∵BE∥AC,
∴△EBD∽△ACD,
=
而B(niǎo)E=AB,
=

(3)如圖,連DE,
∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線(xiàn)
===,==,
又∵==
=,
∴DE∥AC,
∴△DEF∽△ACF,
==
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):平行于三角形一邊的直線(xiàn)被其它兩邊所截,所截得的三角形與原三角形相似;相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等.也考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及角平分線(xiàn)的性質(zhì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•黃石)如圖1所示:等邊△ABC中,線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn),過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B1
(1)請(qǐng)你探究:
AC
AB
=
CD
DB
,
AC1
AB1
=
C1D
DB1
是否都成立?
(2)請(qǐng)你繼續(xù)探究:若△ABC為任意三角形,線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn),請(qǐng)問(wèn)
AC
AB
=
CD
DB
一定成立嗎?并證明你的判斷.
(3)如圖2所示Rt△ABC中,∠ACB=90?,AC=8,AB=
40
3
,E為AB上一點(diǎn)且AE=5,CE交其內(nèi)角角平分線(xiàn)AD于F.試求
DF
FA
的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•樂(lè)山)如圖,已知拋物線(xiàn)C經(jīng)過(guò)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸x=-3與拋物線(xiàn)相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且tan∠MON=3.
(1)求拋物線(xiàn)C的解析式;
(2)將拋物線(xiàn)C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線(xiàn)C′,拋物線(xiàn)C′與x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線(xiàn)C′上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn).
①若P為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;
②過(guò)線(xiàn)段OA上的兩點(diǎn)E,F(xiàn)分別作x軸的垂線(xiàn),交折線(xiàn)O-B-A于點(diǎn)E1,F(xiàn)1,再分別以線(xiàn)段EE1,F(xiàn)F1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2,等邊△FF1F2.點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線(xiàn)上時(shí),求時(shí)間t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1所示,等邊△ABC中,AD是BC邊上的中線(xiàn),根據(jù)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”特性,AD平分∠BAC,且AD⊥BC,則有∠BAD=30°,BD=CD=
1
2
AB
.于是可得出結(jié)論“直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.

請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問(wèn)題:
(1)△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=a,則BC=
a
2
a
2
;
(2)如圖2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D,垂足為E,當(dāng)BD=5cm,∠B=30°時(shí),△ACD的周長(zhǎng)=
15cm
15cm

(3)如圖3所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,垂足為E,那么BE:EA=
3:1
3:1

(4)如圖4所示,在等邊△ABC中,D、E分別是BC、AC上的點(diǎn),且∠CAD=∠ABE,AD、BE交于點(diǎn)P,作BQ⊥AD于Q,猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線(xiàn)C經(jīng)過(guò)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸x=-3與拋物線(xiàn)相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且tan∠MON=3.
(1)求拋物線(xiàn)C的解析式;
(2)將拋物線(xiàn)C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線(xiàn)C′,拋物線(xiàn)C′與x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線(xiàn)C′上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn).
①若P為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;
②過(guò)線(xiàn)段OA上的兩點(diǎn)E,F(xiàn)分別作x軸的垂線(xiàn),交折線(xiàn)O-B-A于點(diǎn)E1,F(xiàn)1,再分別以線(xiàn)段EE1,F(xiàn)F1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2,等邊△FF1F2.點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線(xiàn)上時(shí),求時(shí)間t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年四川省樂(lè)山市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知拋物線(xiàn)C經(jīng)過(guò)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸x=-3與拋物線(xiàn)相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且tan∠MON=3.
(1)求拋物線(xiàn)C的解析式;
(2)將拋物線(xiàn)C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線(xiàn)C′,拋物線(xiàn)C′與x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線(xiàn)C′上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn).
①若P為線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;
②過(guò)線(xiàn)段OA上的兩點(diǎn)E,F(xiàn)分別作x軸的垂線(xiàn),交折線(xiàn)O-B-A于點(diǎn)E1,F(xiàn)1,再分別以線(xiàn)段EE1,F(xiàn)F1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2,等邊△FF1F2.點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線(xiàn)上時(shí),求時(shí)間t的值.

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