Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)的圖象相交于O、A兩點，點A（3，3），點M為拋物線的頂點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）長度為的線段PQ在線段OA（不包括端點）上滑動，分別過點P、Q作x軸的垂線交拋物線于點P1、Q1，求四邊形PQQ1P1面積的最大值；

（3）直線OA上是否存在點E，使得點E關(guān)于直線MA的對稱點F滿足S△AOF=S△AOM？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）E（，）．

【解析】

試題分析：（1）把點A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解決問題．

（2）設(shè)點P在點Q的左下方，過點P作PE⊥QQ1于點E，如圖1所示．設(shè)點P（m，m）（0＜m＜1），則Q（m+2，m+2），P1（m，），Q1（m+2，），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可解決問題．

（3）存在，首先證明EF是線段AM的中垂線，利用方程組求交點E坐標即可．

試題解析：（1）把點A（3，3）代入中，得：3=9+3b，解得：b=﹣2，∴二次函數(shù)的表達式為．

（2）設(shè)點P在點Q的左下方，過點P作PE⊥QQ1于點E，如圖1所示．

∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x軸，∴PE∥x軸，∵直線OA的解析式為y=kx，∴∠QPE=45°，∴PE=PQ=2．

設(shè)點P（m，m）（0＜m＜1），則Q（m+2，m+2），P1（m，），Q1（m+2，），∴PP1=，QQ1=，∴=（PP1+QQ1）PE==，∴當m=時，取最大值，最大值為．

（3）存在．

如圖2中，點E的對稱點為F，EF與AM交于點G，連接OM、MF、AF、OF．

∵S△AOF=S△AOM，∴MF∥OA，∵EG=GF，，∴AG=GM，∵M（1，﹣1），A（3，3），∴點G（2，1），∵直線AM解析式為y=2x﹣3，∴線段AM的中垂線EF的解析式為，由，解得，∴點E坐標為（，）．