Question

如圖，己知拋物線(xiàn)y＝x²＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交丁點(diǎn)C(0，－3)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖(1)，己知點(diǎn)H(0，－1)．問(wèn)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)G(點(diǎn)G在y軸的左側(cè))，使得S_△GHC＝S_△GHA？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：

(3)如圖(2)，拋物線(xiàn)上點(diǎn)D在x軸上的正投影為點(diǎn)E(－2，0)，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接DF，P為線(xiàn)段BD上的一點(diǎn)，若∠EPF＝∠BDF，求線(xiàn)段PE的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由拋物線(xiàn)y＝x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交丁點(diǎn)C(0，－3)，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式； 　　(2)分別從GH∥AC與GH與AC不平行去分析，注意先求得直線(xiàn)GH的解析式，根據(jù)交點(diǎn)問(wèn)題即可求得答案，小心不要漏解； 　　(3)利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)DF的解析式，即可證得△PBE∽△FDP，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案． 　　解答：解：(1)由題意得：， 　　解得：， 　　∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2＋2x－3； 　　(2)解法一： 　　假設(shè)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)G，設(shè)G(m，n)，顯然，當(dāng)n＝－3時(shí)，△AGH不存在． 　�、佼�(dāng)n＞－3時(shí)， 　　可得S△GHA＝－＋＋，S△GHC＝－m， 　　∵S△GHC＝S△GHA， 　　∴m＋n＋1＝0， 　　由， 　　解得：或， 　　∵點(diǎn)G在y軸的左側(cè)， 　　∴G(－，)； 　　②當(dāng)－4≤n＜－3時(shí)， 　　可得S△GHA＝－－－，S△GHC＝－m， 　　∵S△GHC＝S△GHA， 　　∴3m－n－1＝0， 　　由， 　　解得：或， 　　∵點(diǎn)G在y軸的左側(cè)， 　　∴G(－1，－4)． 　　∴存在點(diǎn)G(－，)或G(－1，－4)． 　　解法二： 　�、偃鐖D①，當(dāng)GH∥AC時(shí)，點(diǎn)A，點(diǎn)C到GH的距離相等， 　　∴S△GHC＝S△GHA， 　　可得AC的解析式為y＝3x－3， 　　∵GH∥AC，得GH的解析式為y＝3x－1， 　　∴G(－1，－4)； 　　②如圖②，當(dāng)GH與AC不平行時(shí)， 　　∵點(diǎn)A，C到直線(xiàn)GH的距離相等， 　　∴直線(xiàn)GH過(guò)線(xiàn)段AC的中點(diǎn)M(，－)． 　　∴直線(xiàn)GH的解析式為y＝－x－1， 　　∴G(－，)， 　　∴存在點(diǎn)G(－，)或G(－1，－4)． 　　(3)如圖③，∵E(－2，0)， 　　∴D的橫坐標(biāo)為－2， 　　∵點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上， 　　∴D(－2，－3)， 　　∵F是OC中點(diǎn)， 　　∴F(0，－)， 　　∴直線(xiàn)DF的解析式為：y＝x－， 　　則它與x軸交于點(diǎn)Q(2，0)， 　　則QB＝QD，得∠QBD＝∠QDB，∠BPE＋∠EPF＋∠FPD＝∠DFP＋∠PDF＋∠FPD＝180°， 　　∵∠EPF＝∠PDF， 　　∴∠BPE＝∠DFP， 　　∴△PBE∽△FDP， 　　∴＝， 　　得：PB·DP＝， 　　∵PB＋DP＝BD＝， 　　∴PB＝， 　　即P是BD的中點(diǎn)， 　　連接DE， 　　∴在Rt△DBE中，PE＝BD＝． 　　點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，直線(xiàn)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及三角形面積問(wèn)題的求解等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想與方程思想的應(yīng)用．

提示：

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．