Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連結(jié)CD．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，或．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）①，即可求解；②分點(diǎn)P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可．

解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：…①，

令，則或，

即點(diǎn)；

（2）①如圖1，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線BC的表達(dá)式為：…②，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

，

，有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；

②設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)H，

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，

，點(diǎn)H在BC的中垂線上，

線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

過該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為﹣1，

設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)代入上式并解得：

直線BC中垂線的表達(dá)式為：…③，

同理直線CD的表達(dá)式為：…④，

聯(lián)立③④并解得：，即點(diǎn)，

同理可得直線BH的表達(dá)式為：…⑤，

聯(lián)立①⑤并解得：或（舍去），

故點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，

，，

則直線BP′的表達(dá)式為：，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：，

即直線BP′的表達(dá)式為：…⑥，

聯(lián)立①⑥并解得：或（舍去），

故點(diǎn)；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．