Question

已知半徑為6的⊙O₁與半徑為4的⊙O₂相交于點P、Q，且∠O₁PO₂=120°，點A為⊙O₁上異于點P、Q的動點，直線AP與⊙O₂交于點B，直線O₁A與直線O₂B交于點M．
（1）如圖1，求∠AMB的度數(shù)；
（2）當點A在⊙O₁上運動時，是否存在∠AMB的度數(shù)不同于（1）中結(jié)論的情況？若存在，請在圖2中畫出一種該情況的示意圖，并求出∠AMB的度數(shù)；若不存在，請在圖2中再畫出一個符合題意的圖形，并證明∠AMB的度數(shù)同于（1）中結(jié)論；
（3）當點A在⊙O₁上運動時，若△APO₁與△BPO₂相似，求線段AB的長．

Answer 1

解：（1）∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∵AB是直線，∠O₁PO₂=120°，
∴∠APO₁+∠O₁PO₂+∠BPO₂=180°，
∴∠APO₁+∠BPO₂=60°，即∠A+∠PBO₂=60°，
∴∠O₁MO₂=180°-60°=120°；
即∠AMB=120°；

（2）存在，如圖所示，
∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∴∠APO₁+∠BPO₂=120°，
∵∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO₂，
∴∠M=180°-∠BPO₂-∠A
=180°-∠BPO₂-∠APO₁=180°-120°=60°；

（3）∵△APO₁與△BPO₂相似，且△APO₁與△BPO₂都是等腰三角形，
∴底角∠APO₁=∠BPO₂，
情況一：當P在A、B之間時，∠APO₁=∠BPO₂=30°，
作O₁H⊥AB，O₂D⊥AB，
∴AP=2HP，BP=2PD，
∵O₁P=6，O_，2P=4，
∴HP=，DP=，
∴AB=．
情況二：當P不在A、B之間時，∠APO₁=∠BPO₂=60°，
∴PA=O₁A=6，PB=O₂B=4，
∴AB=2．
分析：（1）由等邊對等角得∠A=∠APO₁與∠PBO₂=∠BPO₂，又由∠O₁PO₂=120°，可得∠A+∠PBO₂=60°，則可求得∠AMB的度數(shù)；
（2）根據(jù)題意作圖，由∠A=∠APO₁與∠B=∠BPO₂，可得∠APO₁+∠BPO₂=120°，又由∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO₂，則可求得∠AMB的度數(shù)；
（3）分兩種情況分析：當P在A、B之間時，∠APO₁=∠BPO₂=30°，與當P不在A、B之間時，∠APO₁=∠BPO₂=60°，分析求解即可，注意不要漏解．
點評：此題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題圖形較復雜，注意合理應用數(shù)形結(jié)合思想．