Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，過點（， ）的直線交軸的正半軸于點， ．

（1）求直線的解析式；（直接寫出結果）

（2）如圖2，點是軸上一動點，以為圓心， 為半徑作⊙，當⊙與相切時，設切點為，求圓心的坐標；

（3）在（2）的條件下，點在軸上，△是以為底邊的等腰三角形，求過點、、三點的拋物線．

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式為；

（2）當⊙與相切時，點坐標為（， ）或（， ）；

（3）過點、、三點的拋物線為或

【解析】試題分析：(1)、根據Rt△AOB的性質求出點B的坐標，然后根據待定系數法求出函數解析式；(2)、根據⊙在直線AB的左側和右側兩種情況以及圓的切線的性質分別求出AC的長度，從而得出點C的坐標；(3)、本題也需要分兩種情況進行討論：⊙在直線的右側相切時得出點D的坐標，根據等邊△的性質得出的坐標，從而根據待定系數法求出拋物線的解析式；⊙在直線的左側相切時，根據切線的直角三角形的性質求出點的坐標，根據待定系數法求出拋物線的解析式.

試題解析：（1）∵（， ），∴． 在Rt△中， ．

， ． ． ∴（， ）．

設直線的解析式為．

則 解得 ∴直線的解析式為．

（2）如圖3，①當⊙在直線的左側時， ∵⊙與相切，∴．

在Rt△中， ． ， ， ．

而，∴與重合，即坐標為（， ）．

②根據對稱性，⊙還可能在直線的右側，與直線相切，此時．

∴坐標為（， ）．

綜上，當⊙與相切時，點坐標為（， ）或（， ）．

（3）如圖4，①⊙ 在直線的右側相切時，點的坐標為（， ）．

此時△為等邊三角形．∴（， ）．

設過點、、三點的拋物線的解析式為．

則 ∴

②當⊙在直線的左側相切時， （， ）

設，則， ． 在Rt△中， ．

， 即，

∴（， ）．

設過點、、三點的拋物線的解析式為．

則， ． ．

綜上，過點、、三點的拋物線為或．