Question

已知：在⊙O中，AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點(diǎn)D，
（1）求證：∠AOD=2∠C；
（2）若AD=8，tanC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，利用切線的性質(zhì)定理和圓周角定理以及圓的半徑相等即可證明∠AOD=2∠C；
（2）由（1）可知：tanC=tan∠ABD，在Rt△ABD中利用角ABD的正切值可求出BD，再利用勾股定理即可求出AB進(jìn)而求出圓的半徑．
解答：（1）證明：連接BD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠AOD=∠ODB+∠OBD，
∴∠AOD=2∠C；   

（2）解：由（1）可知：tanC=tan∠ABD=，
在Rt△ABD中有：tan∠ABD=
即=，
∴BD=6，
∴AB=，
∴半徑為5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及銳角三角函數(shù)和勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是連接BD構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角為直角，從而得到直角三角形．