Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=1：2，對角線AC、BD交于點O，那么S_△AOD：S_△BOC：S_△ABO=    ．

Answer 1

【答案】分析：過A作AE垂直于OD，交OD于E，由AD與BC平行，得到兩對內錯角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形AOD與三角形COB相似，且相似比為AD：BC=1：2，進而得到兩三角形的面積之比等于相似比得平方等于1：4，由三角形AOB與三角形AOD，高為同一條高，面積之比等于OD：OB也等于兩相似三角形的相似比1：2，綜上，求出三個三角形的面積之比．
解答：解：過A作AE⊥OD，交OD于E，

∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC，
∴△AOD∽△COB，
∵AD：BC=1：2，
∴S_△AOD：S_△BOC=1：4，OD：OB=1：2，
又∵S_△AOD=OD•AE，S_△AOB=OB•AE，
∴S_△AOD：S_△AOB==OD：OB=1：2，
則S_△AOD：S_△BOC：S_△ABO=1：4：2．
故答案為：1：4：2．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及梯形的性質．相似三角形的對應邊之比等于相似比，周長之比也等于相似比，面積之比等于相似比的平方．本題在探索三角形AOB與三角形AOD面積之比時，關鍵是作出公共高AE，根據三角形的面積公式分別表示出兩三角形的面積，約分后得到兩三角形面積之比等于兩對邊之比．