Question

如圖，⊙O的半徑均為R．
（1）請?jiān)趫D①中畫出弦AB，CD，使圖①為軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；請?jiān)趫D②中畫出弦AB，CD，使圖②仍為中心對稱圖形；
（2）如圖③，在⊙O中，AB=CD=m（0＜m＜2R），且AB與CD交于點(diǎn)E，夾角為銳角α．求四邊形ACBD的面積（用含m，α的式子表示）；
（3）若線段AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB=CD=

2

R，你認(rèn)為在以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形中，是否存在面積最大的四邊形？請利用圖④說明理由．

Answer 1

分析：（1）使圖①為軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；可讓弦AB=CD且AB與CD不平行（相交時交點(diǎn)不為圓心）．使圖②仍為中心對稱圖形；可讓AB=CD且AB∥CD，也可讓AB，CD作為兩條圓內(nèi)不重合的直徑．
（2）可以以CD或AB為底來求兩三角形的面積和，先作高，然后用AE，BE（CE，DE也可以）和sinα表示出這兩個三角形的高，然后根據(jù)三角形的面積公式可得出

1

2

CD×（AE+BE）•sinα，AE+BE正好是AB的長，因此兩三角形的面積和就能求出來了．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)兩弦相交時，情況與（2）相同，可用（2）的結(jié)果來得出四邊形的面積（此時四邊形的面積正好是兩個三角形的面積和）．
當(dāng)兩弦不相交時，我們可連接圓心和四邊形的四個頂點(diǎn)，將四邊形分成4個三角形來求解，由于AB=CD=

2

R，那么我們可得出三角形OAB和OCD應(yīng)該是個等腰直角三角形，那么他們的面積和就應(yīng)該是R²，下面再求出三角形AOD和BOC的面積和，我們由于∠AOD+∠BOC=180°，我們可根據(jù)這個特殊條件來構(gòu)建全等三角形求解．延長BO交圓于E，那么三角形AOD就應(yīng)該和三角形CEO全等，那么求出三角形BCE的面積就求出了三角形AOD和BOC的面積和，那么要想使四邊形的面積最大，三角形BEC中高就必須最大，也就是半徑的長，此時三角形BEC的面積就是R²，三角形BEC是個等腰直角三角形，那么四邊形ABCD就是個正方形，因此四邊形ABCD的最大面積就是2R²．因此當(dāng)∠AOD=∠BOC=90°時，四邊形ABCD的面積就最大，最大為2R²．

解答：解：（1）答案不唯一，如圖①、②

（2）過點(diǎn)A，B分別作CD的垂線，垂足分別為M，N，
∵S_△ACD=

1

2

CD•AM=

1

2

CD•AE•sinα，S_△BCD=

1

2

CD•BN=

1

2

CD•BE•sinα，
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD=

1

2

CD•AE•sinα+

1

2

CD•BE•sinα
=

1

2

CD•（AE+BE）sinα=

1

2

CD•AB•sinα=

1

2

m²•sinα．

（3）存在．分兩種情況說明如下：
①當(dāng)AB與CD相交時，由（2）及AB=CD=

2

R知S_{四邊形ACBD}=

1

2

AB•CD•sinα=R²sinα，
②當(dāng)AB與CD不相交時，如圖④．

∵AB=CD=

2

R，OC=OD=OA=OB=R，
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S_{四邊形ABCD}=S_Rt△AOB+S_Rt△OCD+S_△AOD+S_△BOC=R²+S_△AOD+S_△BOC
延長BO交⊙O于點(diǎn)E，連接EC，
則∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S_△AOD=S_△OCE
∴S_△AOD+S_△BOC=S_△OCE+S_△BOC=S_△BCE
過點(diǎn)C作CH⊥BE，垂足為H，
則S_△BCE=

1

2

BE•CH=R•CH．
∴當(dāng)CH=R時，S_△BCE取最大值R²
綜合①、②可知，當(dāng)∠1=∠2=90°．
即四邊形ABCD是邊長為

2

R的正方形時，S_{四邊形ABCD}=R²+R²=2R²為最大值．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓內(nèi)軸對稱和中心對稱圖形的區(qū)別以及解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)．在求三角形的面積時，要根據(jù)已知的條件來選擇底邊，這樣可使解題更加簡便．