Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。點D是AC上的動點，過D作DF⊥BC于F，再過F作FE//AC，交AB于E。設CD=x，DF=y.

（1）求y與x的函數關系式；

（2）當四邊形AEFD為菱形時，求x的值；

（3）當△FED是直角三角形時，求x的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）40；（3）30.

【解析】

試題（1）由已知，根據銳角三角函數定義和特殊角的三角函數值可得∠C=30°，從而在Rt△CDF中，再應用銳角三角函數定義和特殊角的三角函數值可得y與x的函數關系式.

（2）根據菱形四邊相等的性質，由AD=DF即AC－CD=DF列方程求解.

（3）首先判斷△FED是直角三角形只有∠FDE=90°，得出，解之即為所求.

試題解析：（1）∵∠B=90°，AC=60，AB=30，

∴.∴∠C=30°.∴.

∴y與x的函數關系式為.

（2）當四邊形AEFD為菱形時，有AD=DF，

∴AC－CD=DF，即，解得x=40.

∴當四邊形AEFD為菱形時，x=40.

（3）如圖，當△FED直角三角形是時，只能是∠FDE=90°，

∵DF⊥BC，∠B=90°，∴DF//AB.

又∵FE//AC，∴四邊形AEFD為平行四邊形. ∴AE=DF.

由DF⊥BC得∠2=90°，∴∠1=∠2. ∴DE//BC.

∴∠3=∠B=90°，∠4=∠C=30°.

在Rt△BOC中，，即60－x= x，

∴x=30.

∴當△FED是直角三角形時，x=30.