Question

已知ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P分
別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．
（1）如圖，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF ＝BC＋3－4，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）60°（2）4

解：（1）連接PO ,

∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。
∴∠EPO＝∠FPO。
在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，
∴∠EPO＝30°�！唷螮PF＝60°。
（2）∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴ AP＝DP。

又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。
∴∠OAD＝∠ODA�！� OA＝OD。
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD�！�ABCD是矩形。 
∵ 點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，∴ AO∥PF。
∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD�！�ABCD是菱形�！�ABCD是正方形。
∴ BD＝BC。
∵ BF＝BD，∴BC＋3－4＝BC，解得，BC＝4。
（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解。
（2）根據(jù)條件證出 ABCD是正方形。根據(jù)正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系列式計(jì)算即可得解。