Question

（2007•鎮(zhèn)江）畫圖、證明：如圖，∠AOB=90°，點(diǎn)C、D分別在OA、OB上．
（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：作∠AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF，分別與CD、OP相交于E、F；連接OE、CF、DF．
（2）在所畫圖中，
①線段OE與CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系：______．
②求證：△CDF為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，作∠AOB的平分線OP；作線段CD的垂直平分線EF；
（2）①由題意，OE是直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)直接得到OE=CD；
②△CDF為等腰直角三角形，由EF是垂直平分線容易得到△CDF是等腰三角形，要證明直角三角形比較麻煩，要充分利用△ODE，△OEC是等腰三角形的等角的作用，還有三角形外角的有關(guān)結(jié)論才能證明．
解答：解：（1）根據(jù)題意要求：畫∠AOB的平分線OP，作線段CD的垂直平分線EF；

（2）①OE=CD．（4分）
②方法一：∵EF是線段CD的垂直平分線，
∴FC=FD，（5）
∵△COD為直角三角形，E為CD的中點(diǎn)，
∴OE=CE=CD，
∴∠COE=∠ECO．
設(shè)CD與OP相交于點(diǎn)G，
∵∠EOF=45°-∠COE，
∠EFO=90°-∠EGF=90°-（45°+∠ECO）=45°-∠ECO，
∴∠EOF=∠EFO，EF=OE．（6分）
又CE=OE=EF，∠CEF=90°，
∴∠CFE=45°，同理∠DFE=45°；
∴∠CFD=90°，△CDF為等腰直角三角形．（7分）

方法二：過點(diǎn)F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分別為M、N．（5分）
∵OP是∠AOB的平分線，
∴FM=FN．
又EF是CD的垂直平分線，
∴FC=FD．
∴Rt△CFM≌Rt△DFN（HL），∠CFM=∠DFN．（6分）
在四邊形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°，
∴∠CFD=∠CFM+∠MFD=∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°，
∴△CDF為等腰直角三角形．（7分）
點(diǎn)評：此題考查等腰三角形的基本性質(zhì)及判定定理，利用三角形的角平分線和垂直平分線及底邊高三線合一是解題的關(guān)鍵，還要利用三角形外角的關(guān)系結(jié)論．