Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．

（1）如圖1，若AB=AC，∠BAC=90°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（不與點(diǎn)B重合），

證明：△ACF≌△ABD

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，猜想CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是什么，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），試探究CF與BD位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，

（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=AE，∠AED=45°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和價(jià)AED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD.

解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，

∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，AD=AF

∴∠CAF=∠BAD，　　　

在△ACF和△ABD中，

AB=AC，∠CAF=∠，AD=AF，

∴△ACF≌△ABD（SAS）

（2）CF⊥BD，

如圖2，∵△ADF是等腰直角三角形，

∴AD=AF，

∵∠CAB=∠DAF=90°，

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠CAF=∠BAD，　

在△ACF和△ABD中，

AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，

∴△ACF≌△ABD（SAS），　

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD　

（3）CF⊥BD

如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA=45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC=AE，∠AED=45°，

∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，

∴∠CAF=∠EAD，　　

在△ACF和△AED中，

AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，　

∴△ACF≌△AED（SAS），　　

∴∠ACF=∠AED=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，

∴CF⊥BD．　　　

“點(diǎn)睛”此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等求出兩邊的夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵，此類題目的特點(diǎn)是各小題求解思路一般都相同.