Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，點的坐標為，連接．

（）求證：是等邊三角形．

（）點在線段的延長線上，連接，作的垂直平分線，垂足為點，并與軸交于點，分別連接、．

①如圖，若，直接寫出的度數(shù)．

②若點在線段的延長線上運動（與點不重合），的度數(shù)是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出的度數(shù)．

（）在（）的條件下，若點從點出發(fā)在的延長線上勻速運動，速度為每秒個單位長度，與交于點，設的面積為，的面積為，，運動時間為秒時．求關于的函數(shù)關系式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①120°；②不變，120°；（）y= (t>0)．

【解析】試題分析：(1) 先求出A、B兩點，再根據(jù)兩點間坐標公式求得AB=BC=AC，則可證△ABC為等邊三角形．

（2））①因為△ABC為等邊三角形，CP=AC，DE是AP的中垂線，故C、D、E三點共線，進而求出四邊形AEPC是菱形，可以求解；

②由于E在y軸上，即E在AC的垂直平分線上，所以EA=EC，故∠ECA=∠EAC，而E在AP的垂直平分線上，同理可求得EA=EP，即EC=EP=EA，那么∠ECP=∠EPC；由（1）知∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，那么∠EAC、∠EPC的度數(shù)和也是120°，由此可求得∠AEP=360°-240°=120°，即∠AEP的度數(shù)不變．

（3）由于S1、S2的面積無法直接求出，因此可求（S1﹣S2）這個整體的值，將其適當變形可得（S1+S△ACF）﹣（S2+S△ACF），即S1﹣S2的值可由△ACE和△ACP的面積差求得，過E作EM⊥PC于M，由（2）知△ECP是等腰三角形，則CM=PM=，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，BM=6+，通過解直角三角形即可求得BE的長，從而可得到OE的長，到此，可根據(jù)三角形的面積公式表示出△ACE和△ACP的面積，從而求得S1﹣S2的表達式，由此得解．

試題解析：

（1）由一次函數(shù)y=x+3，

則A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0）．

再由兩點間距離公式可得出：AB=BC=AC=6，

∴△ABC為等邊三角形．

（2）①，連接CD，由題意得，C、D、E三點共線，

∵E點在y軸上，且A、C關于y軸對稱，

∴E點在線段AC的垂直平分線上，

即EA=EC；

∵E點在線段AP的垂直平分線上，則EA=EP，

∴EA=EP=EC，

∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；

∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，

∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，

∴∠AEP=120°．

②連接EC，

∵E點在y軸上，且A、C關于y軸對稱，

∴E點在線段AC的垂直平分線上，

即EA=EC；

∵E點在線段AP的垂直平分線上，則EA=EP，

∴EA=EP=EC，

∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；

∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，

∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，

故∠AEP=360°﹣240°=120°，

∴∠AEP的度數(shù)不會發(fā)生變化，仍為120°．

（3）如圖，過E作EM⊥BP于M、過A作AN⊥BP于N；

由（2）知：△CEP是等腰三角形，則有：

CM=MP=CP=；

∴BM=BC+CM=6+；

在Rt△BEM中，∠MBE=30°，則有：BE=BM=；

∴OE=BE﹣OB=﹣3=+t；

故S△AEC=ACOE=×6×（+t）=3+t，

S△ACP=PCAN=×t×3=t；

∵S△AEC=S1+S，S△ACP=S+S2，

∴S△AEC﹣S△ACP=S1+S﹣（S2+S）=S1﹣S2

=3+t﹣t=3﹣t，

即y=3﹣t．