在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知拋物線,點(diǎn)A(2,4).
(Ⅰ)求直線OA的解析式;
(Ⅱ)直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B,將拋物線C1從點(diǎn)O沿OA方向平移,與直線x=2交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng),設(shè)拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.
①當(dāng)m為何值時(shí),線段PB最短?
②當(dāng)線段PB最短時(shí),相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△QMA的面積與△PMA的面積相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)將拋物線C1作適當(dāng)?shù)钠揭,得拋物線,若點(diǎn)D(x1,y1),E(x2,y2)在拋物線C2上,且D、E兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,求c的取值范圍.
【答案】分析:(I)直線OA的解析式為y=kx,把點(diǎn)A(2,4)代入即可求出k的值,進(jìn)而得出直線的解析式;
(II)①由頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在線段OA上移動(dòng)可得出y與m的函數(shù)關(guān)系式,故可得出拋物線的解析式,當(dāng)x=2時(shí)可得出y與m的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而可得出P點(diǎn)坐標(biāo),由m的取值范圍即可得出結(jié)論;
②當(dāng)線段PB最短時(shí),拋物線的解析式為y=x2-2x+3,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,3).假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q,使S△QMA=S△PMA,當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí),過(guò)點(diǎn)P作直線PC∥AO交y軸于點(diǎn)C.PB=3,BA=4,可知直線PC的解析式為y=2x-1,聯(lián)立直線與拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí),作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥AO,交y軸于點(diǎn)E,同理可得直線DE的解析式,立直線與拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);
(III)由點(diǎn)D、E關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,可知x2=-x1,y2=-y1,再由D、E兩點(diǎn)在拋物線C2上,可得出y與x的關(guān)系式,聯(lián)立直線DE與拋物線的解析式即可得出x2+c=0,點(diǎn)D、E在拋物線C2上,即拋物線C2與直線DE有兩個(gè)公共點(diǎn),
解答:解:(Ⅰ)設(shè)直線OA的解析式為y=kx,
∵A(2,4),
∴2k=4.
∴k=2.
∴直線OA的解析式為y=2x.                     

(Ⅱ)①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在線段OA上移動(dòng),
∴y=2m(0≤m≤2).
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,2m).
∴拋物線的解析式為y=(x-m)2+2m.
當(dāng)x=2時(shí),y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0≤m≤2).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,m2-2m+4).
∵PB=m2-2m+4=(m-1)2+3,
又∵0≤m≤2,
∴當(dāng)m=1時(shí),線段PB最短.                    
②當(dāng)線段PB最短時(shí),拋物線的解析式為y=x2-2x+3,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,3).
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q,使S△QMA=S△PMA
當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí),過(guò)點(diǎn)P作直線PC∥AO交y軸于點(diǎn)C.
∵PB=3,BA=4,
∴AP=1.
∴直線PC的解析式為y=2x-1.
根據(jù)題意,列出方程組
∴x2-2x+3=2x-1.
解得x1=2,x2=2.
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(2,3).
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合.
∴此時(shí)拋物線上不存在點(diǎn)Q使△QMA與△PMA的面積相等.
當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí),作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作直線DE∥AO,交y軸于點(diǎn)E,
∵AP=1,
∴DA=1.
∴直線DE的解析式為y=2x+1.
根據(jù)題意,列出方程組
∴x2-2x+3=2x+1.
解得,

∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q1),Q2),使△QMA與△PMA的面積相等.
綜上所述,拋物線上存在點(diǎn)Q1,),Q2,),使△QMA與△PMA的面積相等.                

(Ⅲ)∵點(diǎn)D、E關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,
∴x2=-x1,y2=-y1
∵D、E兩點(diǎn)在拋物線C2上,
,②.③
把①代入③,得.④
②-④得2y1=-2x1
∴y1=-x1
設(shè)直線DE的解析式為y=k′x,
由題意,x1≠0,
∴k′=-1.
∴直線DE的解析式為y=-x.
根據(jù)題意,列出方程組
則有x2+c=0,即x2=-c.
∵點(diǎn)D、E在拋物線C2上,即拋物線C2與直線DE有兩個(gè)公共點(diǎn),
∴-c>0,即c<0.
∴c的取值范圍是c<0.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、一元二次方程根的判別式等知識(shí),難度較大.
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2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
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0°(或360°的整數(shù)倍)
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2

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