Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD=4，BC=3．點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP⊥AD于點(diǎn)P，連接AC交NP于點(diǎn)Q，連接MQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：AM=______，AP=______．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）t取何值時(shí)，梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的一半；
（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某時(shí)刻t，使四邊形AQMK為正方形？并說明理由

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知AM等于AD（4）減去DM（2t），AP等于AD減去BC再加上BN（1t）
．（2）由已知用t分別表示出梯形ABNM面積和梯形ABCD面積的，根據(jù)要求列出關(guān)于t的方程求解．
（3）可從四邊形AQMK是正方形著手判定，存在，由已知可推出∠KAQ=2∠CAD=90°，所以只要AQ=MQ，即AM=2AP，4-2t=2（1+t）∴t=時(shí)，四邊形AQMK為正方形．
解答：解：（1）由已知得：AM=4-2t，AP=4-3+t=1+t，
故答案為：4-2t，1+t．

（2）∵梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的一半
∴（t+4-2t）•4=•（3+4）•4，解得t=，
∴當(dāng)時(shí)，梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的一半，

（3）存在
∵AD=CD，∠ADC=90°∴∠CAD=45°
∵△AQM沿AD翻折，得△AKM∴QM=MK，AQ=AK
∠KAQ=2∠CAD=90°，
要使四邊形AQMK為正方形，則AQ=MQ，
∵NP⊥MA∴MP=AP∴AM=2AP，∴4-2t=2（1+t）∴t=，
∴當(dāng)t=時(shí)，四邊形AQMK為正方形．
點(diǎn)評：此題考查的知識點(diǎn)是直角梯形、正方形的性質(zhì)和折疊問題，關(guān)鍵是由已知及正方形的性質(zhì)推出結(jié)論．