Question

如圖，⊙O的直徑AB為4，C為弧AB的中點(diǎn)，E為OB上一點(diǎn)，∠AEC=60°，CE的延長線交⊙O于D，則CD的長為（ ）

A．
B．3
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OC、OD，過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F．由等弧所對(duì)的圓心角相等知∠AOC=∠BOC=90°；根據(jù)垂徑定理推知CF=DF=CD；然后根據(jù)直角三角形的特殊角的三角函數(shù)值求得CD=2CF=OC•cos30°．
解答：解：連接OC、OD，過點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F．
∵AB是⊙O的直徑，C為弧AB的中點(diǎn)，
∴∠AOC=∠BOC=90°（等弧所對(duì)的圓心角相等）；
又∵O是圓心，OF⊥CD，
∴CF=DF=CD（垂徑定理）；
在Rt△OEC中，∠AEC=60°，
∴∠OCE=30°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）；
∴在Rt△OCF中，CF=OC•cos30°；
又AB=4，
∴OC=2；
∴CD=2；
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了垂徑定理、解直角三角形．對(duì)于一個(gè)圓和一條直線，若直線1．平分優(yōu)��；2．平分劣��；3．平分弦；4．垂直于弦；5．經(jīng)過圓心（或者說直徑）；在5個(gè)條件中，只要具備任意兩個(gè)條件，就可以推出其他的三個(gè)結(jié)論．