Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，連接CO并延長(zhǎng)CO交于⊙O于點(diǎn)D，連接AD．

(1)弦長(zhǎng)AB等于________(結(jié)果保留根號(hào))；

(2)當(dāng)∠D＝20°時(shí)，求∠BOD的度數(shù)；

(3)當(dāng)AC的長(zhǎng)度為多少時(shí)，以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)． 　　(2)解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角， 　　∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D． 　　∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D． 　　又∵∠BOD＝2∠A，∠B＝30°，∠D＝20°， 　　∴2∠A＝∠B＋∠A＋∠D＝2∠A＋50°， 　　∴∠BOD＝2∠A＝100°． 　　解法二：如圖，連結(jié)OA． 　　∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DOA＝∠D 　　∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D． 　　又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴∠DAB＝50°， 　　∴∠BOD＝2∠DAB＝100°． 　　(3)∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D． 　　∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°． 　　此時(shí)∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°． 　　∴△DAC∽△BOC． 　　∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝＝．