Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點(diǎn)F（4，0）、與y軸正半軸交于點(diǎn)E（0，4），邊長為4的正方形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，頂點(diǎn)C與點(diǎn)F重合；

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運(yùn)動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線與邊AB交于點(diǎn)P且同時與邊CD交于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n）
①當(dāng)PO=PF時，分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)及PF所在直線l的函數(shù)解析式；
②當(dāng)n=2時，若P為AB邊中點(diǎn)，請求出m的值；
（3）若點(diǎn)B在第（2）①中的PF所在直線l上運(yùn)動，且正方形ABCD與拋物線有兩個交點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)是（0，4），經(jīng)過點(diǎn)（4，0），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)三線合一定理可以求得G的坐標(biāo)，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以求得，把P的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可求得縱坐標(biāo)，得到P的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的邊長是4，即可求得Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可求得Q的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線PF的解析式；
②已知n=2，即A的縱坐標(biāo)是2，則P的縱坐標(biāo)一定是2，把y=2代入拋物線的解析式即可求得P的橫坐標(biāo)，根據(jù)AP=2，且AP∥y軸，即可得到A的橫坐標(biāo)，從而求得m的值；
（3）假設(shè)B在M點(diǎn)時，C在拋物線上或假設(shè)當(dāng)B點(diǎn)在N點(diǎn)時，D點(diǎn)同時在拋物線上時，求得兩個臨界點(diǎn)，當(dāng)B在MP和FN之間移動時，拋物線與正方形有兩個交點(diǎn)．
解答：解：（1）由拋物線y=ax²+c經(jīng)過點(diǎn)E（0，4），F(xiàn)（4，0）
，解得
∴y=-x²+4
（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵PO=PF∴OG=FG
∵F（4，0）∴OF=4
∴OG=OF=×4=2，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2
∵點(diǎn)P在拋物線上
∴y=-×2²+4=3，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3
∴P（2，3）
∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，正方形ABCD邊長是4，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-1
∵點(diǎn)Q在拋物線上，∴-1=-x²+4
∴x₁=2，x₂=-2（不符題意，舍去）
∴Q（2，-1）
設(shè)直線PF的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則直線的解析式是：y=-x+6；
②當(dāng)n=2時，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2
∵P在拋物線上，∴2=-x²+4
∴x₁=2，x₂=-2
∴P的坐標(biāo)為（2，2）或（-2，2）
∵P為AB中點(diǎn)∴AP=2
∴A的坐標(biāo)為（2-2，2）或（-2-2，2）
∴m的值為2-2或-2-2
③假設(shè)B在M點(diǎn)時，C在拋物線上，A的橫坐標(biāo)是m，則B的橫坐標(biāo)是m+4，代入直線PF的解析式得：y=-（m+4）+6=-m，
則B的縱坐標(biāo)是-m，則C的坐標(biāo)是（m+4，-m-4）．
把C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：-m-4=-（m+4）²+4，解得：m=-1-或-1+（舍去）；

當(dāng)B在E點(diǎn)時，AB經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，則E的縱坐標(biāo)是4，把y=4代入y=-x+6，得4=-x+6，解得：x=，
此時A的坐標(biāo)是（-，4），E的坐標(biāo)是：（，4），此時正方形與拋物線有3個交點(diǎn)．
當(dāng)點(diǎn)B在E點(diǎn)時，正方形與拋物線有兩個交點(diǎn)，此時-1-＜m＜-；
當(dāng)點(diǎn)B在E和P點(diǎn)之間時，正方形與拋物線有三個交點(diǎn)，此時：-＜x＜-2；
當(dāng)B在P點(diǎn)時，有兩個交點(diǎn)；
假設(shè)當(dāng)B點(diǎn)在N點(diǎn)時，D點(diǎn)同時在拋物線上時，同理，C的坐標(biāo)是（m+4，-m-4），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是：（m，-m-4），
把D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：-m-4=-m²+4，解得：m=3+或3-（舍去），
當(dāng)B在F與N之間時，拋物線與正方形有兩個交點(diǎn)．此時0＜m＜3+．
故m的范圍是：-1-＜m-或m=2或0＜m＜3+．
點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及正方形的性質(zhì)，確定正方形與拋物線有兩個交點(diǎn)時的位置是關(guān)鍵．