Question

如圖， 內接于，的平分線與交于點，與交于點，延長，與的延長線交于點，連接是的中點，連結．

（1）判斷與的位置關系，寫出你的結論并證明；

（2）求證：；

（3）若，求的面積．

Answer 1

（1）猜想：．

證明：如圖，連結OC、OD．

∵，G是CD的中點，

∴由等腰三角形的性質，有．

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．

而∠CAE＝∠CBF（同弧所對的圓周角相等）．

在Rt△ACE和Rt△BCF中，

∵∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，

∴Rt△ACE≌Rt△BCF  （ASA）

∴． 

 （3）解：如圖，過點O作BD的垂線，垂足為H．則H為BD的中點．

∴OH＝AD，即AD=2OH．

又∠CAD＝∠BADCD=BD，∴OH=OG．

 在Rt△BDE和Rt△ADB中，

∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，

∴Rt△BDE∽Rt△ADB

∴，即

∴

又，∴．

∴                   … ①

設，則，AB=．

∵AD是∠BAC的平分線，

∴．

在Rt△ABD和Rt△AFD中，

∵∠ADB=∠ADF＝90°，AD=AD，∠FAD＝∠BAD，

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．

∴AF=AB=，BD=FD．

∴CF=AF-AC=

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

      …②  

由①、②，得．

∴．解得或（舍去）．

∴

∴⊙O的半徑長為．

∴