Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G，E分別是邊AB，BC的中點，∠AEF=90^o，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

 （1）證明：∠BAE=∠FEC；

（2）證明：△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面積．

Answer 1

（1）證明：∵∠AEF=90^o，

∴∠FEC+∠AEB=90^o．在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90^o，

∴∠BAE=∠FEC

（2）證明：∵G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180^o－45^o=135^o．

又∵CF是∠DCH的平分線，

      ∠ECF=90^o+45^o=135^o．

在△AGE和△ECF中，

 

     ∴△AGE≌△ECF；  

  （3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．

又∵∠AEF=90^o，

∴△AEF是等腰直角三角形．

由AB=a，BE=a，知AE=a，

∴S_△AEF=a²．