Question

【題目】如圖，已知，二次函數(shù)的圖像交軸正半軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，一次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，的正切值為.

（1）求二次函數(shù)的解析式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將二次函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位，設(shè)平移后拋物線頂點(diǎn)為，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，－1）；（2）m＝.

【解析】

（1）先根據(jù)題中所給條件求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，將求出的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）用含m的代數(shù)式表示出P′的坐標(biāo)，用含m的代數(shù)式表示S△ABP′和S△BCP′，根據(jù)S△ABP′＝S△BCP′求出m的值即可.

（1）∵一次函數(shù)解析式為y＝x－3，

∴OC＝3，

∵tan∠OCA＝，

∴OA＝2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得4＋2b＝0，

解得b＝﹣2，

∴二次函數(shù)解析式為y＝x2－2x，

將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，得y＝（x－1）2－1，

∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣1）.

（2）如圖所示，其中l為拋物線的對稱軸，D為l與x軸的交點(diǎn)，

當(dāng)y＝0時(shí)，x－3＝0，解得x＝6，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6,0），

∴AB＝6－2＝4，

在Rt△BOC中，BC＝＝，

∵P′是將二次函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位后得到的拋物線的頂點(diǎn)，

∴P′的坐標(biāo)為（1，﹣1－m），∴DP′＝1＋m

∴S△ABP′＝×AB×DP′＝×4×（1＋m）＝2＋2m，

當(dāng)P′在直線y＝x－3的左側(cè)時(shí)，

S△BCP′＝S△BOC－（S梯形ODP′C＋S△BDP′）＝＝－3m，

∵S△ABP′＝S△BCP′，

∴2＋2m＝－3m，解得m＝，

當(dāng)P′在直線y＝x－3的右側(cè)時(shí)，

S△BCP′＝（S梯形ODP′C＋S△BDP′）－S△BOC＝＝＋3m，

∵S△ABP′＝S△BCP′，

∴2＋2m＝﹣＋m，解得m＝，

綜上，m＝或.