Question

如圖，以點G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，已知拋物線y=-x²+bx+c過點A和點B，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出點C的坐標，并在圖中畫出此拋物線的大致圖象；
（3）點F（8，m）在拋物線y=-x²+bx+c上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PF+PB的最小值；
（4）OE是⊙G的切線，點E是切點，在拋物線上是否存在一點Q，使△COQ的面積等于△COE的面積？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)以點G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，求得點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（6，0），然后代入拋物線y=-x²+bx+c求得函數(shù)的解析式即可；
（2）首先求得拋物線與y軸的交點點C的坐標，然后將y=-x²+x-2配方成y=（x-4）²+的形式，從而求得頂點坐標，即可作出函數(shù)的圖象；
（3）根據(jù)F（8，m）在拋物線y=-x²+x-2上，求得點F的坐標，連接AF，則與拋物線的對稱軸的交點為點P，此時PF+PB的最小，然后利用勾股定理求得AF的長即為最小值；
（4）連接EG，根據(jù)OE是⊙G的切線，得到∠OEG=90°，然后利用勾股定理求得OE的長即可，進而得出E點坐標，求出即可．
解答：解：（1）∵以點G（4，0）為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，
點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（6，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c過點A和點B，
∴，
解得：，
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+x-2；

（2）∵C點為拋物線與y軸的交點，
∴當x=0時，y=-2，
∴點C的坐標為（0，-2）；
∵y=-x²+x-2=-（x²-8x）-2=-（x-4）²+，
∴此拋物線的頂點坐標為（4，），如圖：

（3）∵點F（8，m）在拋物線y=-x²+x-2上，
∴點F的坐標為（8，-2），
連接AF，則與拋物線的對稱軸的交點為點P，此時PF+PB的最小，
∴PA=PB，
∴PF+PB=PA+PF=AF==2；
∴PF+PB的最小值為2；

（4）連接EG，作ER⊥OB，ET⊥y軸，
∴EG=2，
∵OE是⊙G的切線，
∴∠OEG=90°，
∴OE=2．
∵EG=2，OG=4，
∴∠EOG=30°，
∴∠EGO=90°-∠EOG=90°-30°=60°，
∴RG=1，
∴ER=，OR=3，
∴ET=3，
∴△COE的面積為：×2×3=3，
∴△COQ的面積為3，
當Q點橫坐標為3時，
y=-x²+x-2=；
∴Q點的坐標為：（3，），
當Q點橫坐標為-3時，
y=-x²+x-2=0；
y=-，
∴Q點的坐標為：（-3，-），
∴點Q的坐標為：（-3，-），（3，）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是題目中與幾何知識結(jié)合起來，更是中考中的常見考題．