【題目】(本小題滿分13分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),直線y =-2x-1與y軸交于點(diǎn)A,與直線y =-x交于點(diǎn)B,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C.
(1)求過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)P為拋物線上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q.
①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(-1<t<1),當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PBQC面積最大,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2-x-1(2)①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+,1+)或(1-,1-)②2
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)直線y =-2x-1與y軸交于點(diǎn)A,與直線y =-x交于點(diǎn)B,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,構(gòu)造方程組可求A、B、C的坐標(biāo);然后利用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)的解析式,代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求解析式;
(2)①如圖1,根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上,可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,),根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)知PQ在直線y=x上,因此可求得m的值,即可求P點(diǎn)的坐標(biāo);
②如圖2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2 - t - 1).過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸,交直線y = - x于點(diǎn)D,則D(t,- t).分別過(guò)點(diǎn)B,C作BE⊥PD,CF⊥PD,垂足分別為點(diǎn)E,F.可以表示出PD的長(zhǎng)的關(guān)系式,以及BE+CF值,從而表示出,然后可求菱形的面積,根據(jù)二次函數(shù)的最值的性質(zhì)求得四邊形的最大面積.
試題解析:解:(1)解方程組得
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,1)
∵點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-1).
又∵點(diǎn)A是直線y=-2x-1與y軸的交點(diǎn),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1).
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=x2-x-1.
(2)①如圖1,∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2-m-1).
當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí),O為菱形的中心,
∴PQ⊥BC,即點(diǎn)P,Q在直線y = x上,
∴m = m2-m-1,
解得m = 1±.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+,1+)或(1-,1-).
②方法一:
如圖2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2 - t - 1).
過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸,交直線y = - x于點(diǎn)D,則D(t,- t).
分別過(guò)點(diǎn)B,C作BE⊥PD,CF⊥PD,垂足分別為點(diǎn)E,F.
∴PD = - t -( t2 - t -1)= - t2 + 1,BE + CF = 2,
∴=PD·BE +PD·CF
=PD·(BE + CF)
=(- t2 + 1)×2
=- t2 + 1.
∴=-2t2+2.
∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2.
方法二:
如圖3,過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線,過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線,兩直線交于點(diǎn)D,連接PD.
∴S△PBC=S△BDC-S△PBD-S△PDC
=×2×2-×2(t+1)-×2(t2-t-1+1)
=-t2+1.
∴=-2t2+2.
∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2.
方法三:如圖4,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC,垂足為E,作PF∥x軸交BC于點(diǎn)F.
∴PE=EF.
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2-t-1),
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-t2+t+1,t2-t-1).
∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1.
∴PE=(-t2+1).
∴S△PBC=BC·PE=××(-t2+1)
=-t2+1.
∴=-2t2+2.
∴當(dāng)t=0時(shí),有最大值2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)正比例函數(shù)y1=k1x的圖象與一個(gè)一次函數(shù)y2=k2x+b的圖象相交于點(diǎn)A(3,4),且一次函數(shù)y2的圖像與y軸相交于點(diǎn)B(0,—5),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)判斷△AOB的形狀并說(shuō)明理由;
(2)若將直線AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使△AOC的面積為8,求旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式;
(3)在x軸上求一點(diǎn)P使△POA為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,于,且.
()求證:.
()若,于,為中點(diǎn),與,分別交于點(diǎn),.
①判斷線段與相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
②求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別是△ABC的三邊長(zhǎng),且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ac,則△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 等邊三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在8×8的網(wǎng)絡(luò)中,△ABC是格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)),若點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,3),按要求回答下列問(wèn)題:
(1)建立符合條件的平面直角坐標(biāo)系,并寫出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)將△ABC先向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,在向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到△DEF,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△DEF,并求出線段AC在平移過(guò)程中掃過(guò)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C,連結(jié)AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)EC.若AB=8,CD=2,則EC的長(zhǎng)為( )
A. 2 B. 8 C. 2 D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線,交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:EB=EC;
(2)若以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由.
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