Question

如圖在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，O分別是AB，CD，AD的中點，以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑畫弧EF．P是

EF

上的一個動點，連接OP，并延長OP交線段BC于點K，過點P作⊙O的切線，分別交射線AB于點M，交直線BC于點G．若

BG

BM

=3，則BK=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)MG與⊙O相切得OK⊥MG．設(shè)直線OK交AB的延長線于點H，易證∠MGB=∠BHK．根據(jù)三角函數(shù)定義，tan∠MGB=tan∠BHK=

BM

BG

=

1

3

，從而有AH=3，BH=3BK．因為AB=2，所以BH=1，可求BK．
P為動點，當(dāng)P接近F點時，本題另有一個解．

解答：解：（1）若OP的延長線與射線AB的延長線相交，設(shè)交點為H．如圖1，
∵M(jìn)G與⊙O相切，
∴OK⊥MG．
∵∠BKH=∠PKG，
∴∠MGB=∠BHK．
∵

BG

BM

=3，
∴tan∠BHK=

1

3

．
∴AH=3AO=3×1=3，
BH=3BK．
∵AB=2，
∴BH=1，
∴BK=

1

3

．

（2）若OP的延長線與射線DC的延長線相交，設(shè)交點為H．如圖2，
同理可求得BK=

5

3

．

綜上所述，本題應(yīng)填

1

3

，

5

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識點，綜合性強，難度較大．
本題需要特別注意有2個解，不要漏解．