Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，∠CAB=30°，CD⊥AB于點D，
（1）若CD=，求⊙O的半徑；
（2）把△ACD沿AC折疊得到△ACE，求證：EC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合圖形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AC與BC的值，根據(jù)勾股定理可得AB即直徑的數(shù)值；進而求得圓的半徑；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，結(jié)合圖形，可得∠OCE=90°，根據(jù)切線的定義，可得EC是⊙O的切線．
解答：（1）解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
連接BC，
∴∠DCB=30°．
∴BC=2．
∴AC=2．
∵AB²=AC²+BC²=4+12=16，
∴AB=4．
∴⊙O的半徑為2．

（2）證明：連接OC，可得∠OCB=2∠CAB=60°，
∵OC=OA，
∴△OCB是等邊三角形．
∴∠OCB=60°．
又∵CD是AE的對稱軸，
∴∠DCB=60°．
∴∠OCE=90°．
即OC⊥CE．
∴EC是⊙O的切線．
點評：本題通過折疊變換考查學生的邏輯思維能力，解決此類問題，應(yīng)結(jié)合題意，最好實際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關(guān)系．