【答案】
分析:①可證△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF,所以∠BAF=∠BHE=90°得證.
②由題意正方形中角ABO=角BCO,在上面所證∠BCE=∠ABF,由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得證.
③利用AAS證明三角形OCN全等于三角形OBM,所以BM=CN,只有H是BM的中點時,OH等于BM(CN)的一半,所以(3)錯誤.
過O點作OG垂直于OH,OG交CH于G點,由題意可證得三角形OGC與三角形OHB全等.
按照前述作輔助線之后,OHG是等腰直角三角形,OH乘以根2之后等于HG,則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后,CG=BH,所以④式成立.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155318307041984/SYS201310221553183070419009_DA/images0.png)
解:∵AF=BE,AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°,
∴△ABF≌△BEC,
∴∠BCE=∠ABF,∠BFA=∠BEC,
∴△BEH∽△ABF,
∴∠BAF=∠BHE=90°,
即BF⊥EC,①正確;
∵四邊形是正方形,
∴BO⊥AC,BO=OC,
由題意正方形中角ABO=角BCO,在上面所證∠BCE=∠ABF,
∴∠ECO=∠FBO,
∴△OBM≌△ONC,
∴ON=OM,
即②正確;
③∵△OBM≌△ONC,
∴BM=CN,
只有當(dāng)H為BM的中點是,OH等于CN的一半,故③錯誤;
④過O點作OG垂直于OH,OG交CH與G點,
在△OGC與△OHB中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155318307041984/SYS201310221553183070419009_DA/0.png)
,
故△OGC≌△OHB,
∵OH⊥OG,
∴△OHG是等腰直角三角形,
按照前述作輔助線之后,OHG是等腰直角三角形,OH乘以根2之后等于HG,
則在證明證明三角形OGC與三角形OHB全等之后,CG=BH,
所以④式成立.
綜上所述,①②④正確.
故選B.
點評:本題考查了正方形的性質(zhì),①可證△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF,所以∠BAF=∠BHE=90°得證.
②由題意正方形中角ABO=角BCO,在上面所證∠BCE=∠ABF,由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得證.
③利用AAS證明三角形OCN全等于三角形OBM,所以BM=CN,只有H是BM的中點時,OH等于BM(CN)的一半,所以(3)錯誤.過O點作OG垂直于OH,OG交CH于G點,可證得三角形OGC與三角形OHB全等.OHG是等腰直角三角形,可證明三角形OGC與三角形OHB全等之后,CG=BH,即④式成立.