Question

【題目】如圖，已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90°，當四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF．
（1）求證：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，

∴ = ，

又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°，

∴∠ACE=∠BCF，

∴△CAE∽△CBF

（2）解：∵△CAE∽△CBF，

∴∠CAE=∠CBF， ，

又∵∠CAE+∠CBE=90°，

∴∠CBF+∠CBE=90°，

∴∠EBF=90°，

又∵ = ，AE=2

∴ = ，

∴BF= ，

∴EF2=BE2+BF2=3，

∴EF= ，

∵CE2=2EF2=6，

∴CE= ．

【解析】（1）首先根據(jù)四邊形ABCD和EFCG均為正方形，可得 = ，∠ACE=∠BCF；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；（2）首先根據(jù)△CAE∽△CBF，判斷出∠CAE=∠△CBF，再根據(jù)∠CAE+∠CBE=90°，判斷出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理，求出EF的長度，再根據(jù)CE、EF的關系，求出CE的長是多少即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的性質(zhì)(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．