Question

（1997•甘肅）已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A（-2，-3）、B（3，2）兩點，且與x軸相交于M、N兩點，當以線段MN為直徑的圓的面積最小時，求M、N兩點的坐標和四邊形AMBN的面積．

Answer 1

分析：將點A、B的坐標分別代入已知函數解析式，即可求得以a表示的b、c的值；然后由兩點間的距離公式求得MN=

( 1 a +1)2+24

，由二次函數的最值求得：
當a=-1時，MN_最小=2

6

．從而易求點M、N的坐標；最后根據四邊形的面積=兩個三角形的面積之和來求四邊形AMBN的面積．

解答：解：由拋物線經過A（-2，-3）、B（3，2）兩點可得b=1-a，c=-（1+6a）
∴MN=丨x₁-x₂丨=|

b2-4ac

a

|=|±

25a2+2a+1 a2

|=

( 1 a )2+ 2 a +25

=

( 1 a +1)2+24

．
當a=-1時，MN_最小=2

6

此時，b=2，c=5，
∴函數的解析式為：y=-x²+2x+5．
∴M（1-

6

，0），N（1+

6

，0），
此時，四邊形AMBN的面積S=

1

2

MN•（|y_A|+|y_B|）=

1

2

×2

6

×（3+2）=5

6

．

點評：本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到的知識點有：待定系數法求二次函數的解析式，根與系數的關系與代數式的變形，二次函數最值的求法以及三角形面積的計算．在求四邊形AMBN的面積時，采用了“分割法”．