(2012•洪山區(qū)模擬)如圖,四邊形ABCD為矩形,△ACE為AC為底的等腰直角三角形,連接BE交AD、AC分別于F、N,CM平分∠ACB交BN于M,下列結(jié)論:(1)BE⊥ED;(2)AB=AF;(3)EM=EA;(4)AM平分∠BAC
其中正確的結(jié)論有(  )
分析:連接DE,由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°,根據(jù)圓周角定理的推論得到點(diǎn)A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上,再利用矩形的性質(zhì)可得AE=ME,即①正確;再根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=∠ACB,∠DAC=∠CED,∠EAD=∠ECD,易證△AEF≌△CED,即可得到AB=AF,即②正確;由②得到∠ABF=∠AFB=45°,求出∠EMC=∠MCB+45°,
而∠ECM=∠NCM+45°,即③正確;根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠EAM=∠AME,推出∠EAM=45°+∠MAN,∠AME=45°+∠BAM,即可判斷(4).
解答:解:連接DE.
∵四邊形ABCD為矩形,△ACE為AC為底的等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,
∴點(diǎn)A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上,
∵AB=CD,
∴弧AB=弧CD,
∴∠AEB=∠CED,
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°,
∴BE⊥ED,故(1)正確;
∵點(diǎn)A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上,
∴∠AEF=∠CED,∠EAF=∠ECD,
又∵△ACE為等腰直角三角形,
∴AE=CE,
在△AEF和∉CED中,
∠AEF=∠CED
AE=CD
∠EAF=∠ECD
,
∴△AEF≌△CED,
∴AF=CD,
而CD=AB,
∴AB=AF,即(2)正確;
∴∠ABF=∠AFB=45°,
∴∠EMC=∠MCB+45°,
而∠ECM=∠NCM+45°,
∵CM平分∠ACB交BN于M,
∴∠EMC=∠ECM,
∴EC=EM,
∴EM=EA,即(3)正確;
∵AB=AF,∠BAD=90°,EM=EA,
∴∠ABF=∠CBF=45°,∠EAM=∠AME,
∵△AEC是等腰直角三角形,
∴∠EAC=45°,
∴∠EAM=45°+∠MAN,∠AME=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM,
∴∠BAM=∠NAM,∴(4)正確;
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理以及推論:同弧所對(duì)的圓周角相等,90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑;也考查了等腰三角形和矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì),通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力,此題綜合性比較強(qiáng),有一定的難度.
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