Question

如圖，過△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)O向三邊BC、CA、AB作垂線，垂足分別為D、E、F．求證：AF²＋BD²＋CE²＝FB²＋DC²＋EA²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由于D、E、F分別是垂足，而要證明的結(jié)論都與線段的平方有關(guān)，所以考慮連結(jié)OA、OB、OC構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理證明． 　　證明：連結(jié)OA、OB、OC． 　　因?yàn)镺F⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC， 　　所以∠AFO＝∠BFO＝∠BDO＝∠CDO＝∠CEO＝∠AEO＝90°． 　　所以在Rt△AFO、Rt△BFO、Rt△BDO、Rt△CDO、Rt△CEO和Rt△AEO中，分別運(yùn)用勾股定理，得 　　AF2＝OA2－OF2，F(xiàn)B2＝OB2－OF2，BD2＝OB2－OD2，DC2＝OC2－OD2，CE2＝OC2－OE2，EA2＝OA2－OE2． 　　所以AF2＋BD2＋CE2＝OA2－OF2＋OB2－OD2＋OC2－OE2，F(xiàn)B2＋DC2＋EA2＝OB2－OF2＋OC2－OD2＋OA2－OE2． 　　所以AF2＋BD2＋CE2＝FB2＋DC2＋EA2．