Question

已知：如圖，二次函數圖象的頂點坐標為C（1，-2），直線y=kx+m的圖象與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點坐標為（3，0），B點在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這個二次函數的圖象交于點E．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設點P的橫坐標為x，求線段PE的長（用含x 的代數式表示）；
（3）點D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，若以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似，請求出P點的坐標．

Answer 1

解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x-1）²-2，
∵A（3，0）在拋物線上，
∴0=a（3-1）²-2
∴a=，
∴y=（x-1）²-2，

（2）拋物線與y軸交點B的坐標為（0，），
設直線AB的解析式為y=kx+m，
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為y=x-．
∵P為線段AB上的一個動點，
∴P點坐標為（x，x-）．（0＜x＜3）
由題意可知PE∥y軸，∴E點坐標為（x，x²-x-），
∵0＜x＜3，
∴PE=（x-）-（x²-x-）=-x²+x，

（3）由題意可知D點橫坐標為x=1，又D點在直線AB上，
∴D點坐標（1，-1）．
①當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP，
∴．
過點D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x-1，
∴DP=（x-1），
∴，
解得：x=-1±（負值舍去）．
∴P（-1，）（如圖中的P₁點）；
②當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP，
∴．
由（2）PE=-x²+x，DE=x-1，
∴，
解得：x=1±，（負值舍去）．
∴P（1+，-1）（如圖中的P₂點）；
綜上所述，P點坐標為（-1，）或（1+，-1）．
分析：（1）首先設二次函數的解析式為y=a（x-1）²-2，由A點坐標為（3，0），則可將A點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法即可求得這個二次函數的解析式；
（2）首先利用待定系數法求得直線AB的解析式，然后由P在直線上，將x代入直線方程，即可求得P的縱坐標，又由E在拋物線上，則可求得E的縱坐標，它們的差即為PE的長；
（3）分別從當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP與當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP兩種情況去分析，注意利用相似三角形的對應邊成比例等性質，即可求得答案，注意不要漏解．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，線段的長度的求解方法，相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想，分類討論思想與數形結合思想的應用．