Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+1．記當(dāng)x=c時(shí)，函數(shù)值為y_c，那么，是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于滿(mǎn)足0≤x≤1的任意實(shí)數(shù)a，b，總有y_a+y_b≥1．

Answer 1

分析：求y_a+y_b≥1，實(shí)際上是求兩個(gè)函數(shù)在0≤x≤1內(nèi)的最小值之和大于或等于1，據(jù)此把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x=m，是否在0≤x≤1內(nèi)，分類(lèi)討論．

解答：解：設(shè)y在0≤x≤1的最小值為M，原問(wèn)題等價(jià)于2M≥1，M≥

1

2

，
二次函數(shù)y=x²-2mx+1的圖象是一條開(kāi)口向上的拋的線，
①當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x=m≤0時(shí)，由圖象可知，x=0時(shí)，y_最小=1，這時(shí)1≥

1

2

成立；
②當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x=m，0＜m＜1時(shí)，由圖象可知x=m時(shí)，y_最小且y_最小=1-m²，有1-m²≥

1

2

，m²≤

1

2

，故有0＜m≤

2

2

；
③當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x=m，m≥1時(shí)，由圖象可知，x=1時(shí)，y_最小且y_最小=2-2m，這時(shí)有2-2m≥

1

2

，m≤

3

4

與m≥1矛盾．
綜上可知，滿(mǎn)足條件的m存在，且m的取值范圍是m≤

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由于圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)處函數(shù)有最小值，需要根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與x的范圍，分類(lèi)討論，這些性質(zhì)和分類(lèi)討論的思想要求掌握．