Question

圓O半徑為2，圓O內的點P到圓心O的距離為1，過點P的弦AB與劣弧AB組成一個弓形．此弓形面積的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：當過P的弦與OP垂直時，圓心到弦的距離最大，根據(jù)勾股定理及垂徑定理得到弦長最短，即此時弓形的面積最小，由OP與AB垂直得到三角形APO為直角三角形，根據(jù)直角邊OP等于斜邊OA的一半，得到∠OAP=30°，同理可得出∠OBP=30°，利用三角形內角和定理求出∠AOB的度數(shù)，同時由OA及OP的長，利用勾股定理求出AP的長，再由OP垂直于AB，根據(jù)垂徑定理得到AB=2AP，進而求出AB的長，然后由扇形AOB的面積減去三角形AOB的面積，即可求出弓形AB的面積，即為所求弓形面積的最小值．
解答：解：根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示：

由圖形得到弦AB⊥OP時，弓形AB面積最小，
∵AB⊥OP，
∴∠APO=90°，
∵在直角三角形AOP中，OA=2，OP=1，
∴∠OAP=30°，AP==，
又∵OP⊥AB，
∴AB=2AP=2，
同理∠OBP=30°，
∴∠AOB=120°，
則S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB=-×2×1=-．
故答案為：-
點評：此題考查了扇形面積的計算，涉及的知識有垂徑定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性質，扇形的面積公式，以及三角形的面積公式，其中根據(jù)題意得出當過P的弦與OP垂直時弓形的面積最小是解本題的關鍵．