Question

如圖，四邊形AECF是正方形，四邊形ABCD的∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋轉后能與△DFA重合．
（1）旋轉中心是哪一點？
（2）旋轉了多少度？
（3）若AE=5cm，求四邊形AECF的面積．
（4）若AB=7cm，求點B在旋轉中經過的路線的長度．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）根據圖形確定旋轉中心即可；
（2）對應邊AE、AF的夾角即為旋轉角，再根據正方形的每一個角都是直角解答；
（3）根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得△BAE的面積等于△DAF的面積，從而得到四邊形ABCD的面積等于正方形AECF的面積，然后求解即可；
（4）利用弧長公式以及旋轉角和半徑求出弧長即可．

解答：解：（1）由圖可知，點A為旋轉中心；

（2）∠EAF為旋轉角，
在正方形AECF中，∠EAF=90°，
所以，旋轉了90°；

（3）∵△BEA旋轉后能與△DFA重合，
∴△BEA≌△DFA，
∴S_△BEA=S_△DFA，
∴四邊形ABCD的面積=正方形AECF的面積，
∵AE=5cm，
∴四邊形ABCD的面積=5²=25（cm²）；

（4）由題意得：∠BAD=90°，∵AB=7cm，
∴點B在旋轉中經過的路線的長度為：

90π×7

180

=3.5π（cm）．

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質以及旋轉中心的確定，旋轉角的確定，以及旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質．