Question

【題目】閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半……先構(gòu)造“輔助圓”，再利用圓的性質(zhì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。

解決問題：如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）使∠APB=30°的點(diǎn)P有_______個(gè)；

（2）若點(diǎn)P在y軸正半軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)sin∠APB=m，若點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí), 滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）無數(shù)；（2）（0， ）或（0， ）；（3）0﹤m﹤.

【解析】試題分析：（1）已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是定點(diǎn)，要使∠APB=30°，只需點(diǎn)P在過點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓上，且弧AB所對(duì)的圓心角為60°即可，顯然符合條件的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)．

（2）結(jié)合（1）中的分析可知：當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)P是（1）中的圓與y軸的交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角大于同弧所對(duì)的圓外角．要∠APB最大，只需構(gòu)造過點(diǎn)A、點(diǎn)B且與y軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得∠APB最大的點(diǎn)P，由此即可求出m的范圍．

試題解析：解：（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點(diǎn)P1、P2．

在優(yōu)弧AP1B上任取一點(diǎn)P，如圖1，則∠APB=∠ACB=×60°=30°，∴使∠APB=30°的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)．

故答案為：無數(shù)．

（2）點(diǎn)P在y軸的正半軸上，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，如圖1．

∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（5，0），∴OA=1，OB=5，∴AB=4．

∵點(diǎn)C為圓心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2，∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG=

=

=2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）．

過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，連接CP2，如圖1．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），∴CD=3，OD=2．

∵P1、P2是⊙C與y軸的交點(diǎn)，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．

∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．

∵點(diǎn)C為圓心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=，∴P1（0，2+），P2（0，2﹣）．

（3）當(dāng)過點(diǎn)A、B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大．

理由：可證：∠APB=∠AEH，當(dāng)∠APB最大時(shí)，∠AEH最大．由sin∠AEH= 得：當(dāng)AE最小即PE最小時(shí)，∠AEH最大．所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，∠APB最大．∵∠APB為銳角，∴sin∠APB隨∠APB增大而增大，．

連接EA，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2．∵⊙E與y軸相切于點(diǎn)P，∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°，∴四邊形OPEH是矩形，∴OP=EH，PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=，∴m的取值范圍是．