(1)證明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°,
∵點M為BC的中點,
∴BM=
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EC,DM=
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EC,
∴BM=DM,BM=CM,DM=CM,
∴∠BCM=∠MBC,∠DCM=∠MDC,
∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE,
同理∠DME=2∠ACM,
∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°
∴△BMD是等腰直角三角形.
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(2)解:如圖2,△BDM是等腰直角三角形,
理由是:延長ED交AC于F,
∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠EAD=45°,
∵AD⊥ED,
∴ED=DF,
∵M為EC中點,
∴EM=MC,
∴DM=
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FC,DM∥FC,
∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°,
∵ED⊥AB,BC⊥AB,
∴ED∥BC,
∴∠DEM=NCM,
在△EDM和△CNM中
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∴△EDM≌△CNM(ASA),
∴DM=MN,
∴BM⊥DN,
∴△BMD是等腰直角三角形.
(3)
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△BDM是等腰直角三角形,
理由是:過點C作CF∥ED,與DM的延長線交于點F,連接BF,
可證得△MDE≌△MFC,
∴DM=FM,DE=FC,
∴AD=ED=FC,
作AN⊥EC于點N,
由已知∠ADE=90°,∠ABC=90°,
可證得∠DEN=∠DAN,∠NAB=∠BCM,
∵CF∥ED,
∴∠DEN=∠FCM,
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD,
∴△BCF≌△BAD,
∴BF=BD,∠DBA=∠CBF,
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,
∴△DBF是等腰直角三角形,
∵點M是DF的中點,
則△BMD是等腰直角三角形,
分析:(1)根據等腰直角三角形的性質得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°,推出BM=DM,BM=CM,DM=CM,推出∠BCM=∠MBC,∠ACM=∠MDC,求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可.
(2)延長ED交AC于F,求出DM=
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FC,DM∥FC,∠DEM=NCM,根據ASA推出△EDM≌△CNM,推出DM=BM即可.
(3)過點C作CF∥ED,與DM的延長線交于點F,連接BF,推出△MDE≌△MFC,求出DM=FM,DE=FC,作AN⊥EC于點N,證△BCF≌△BAD,推出BF=BD,∠DBA=∠CBF,求出∠DBF=90°,即可得出答案.
點評:本題考查了等腰直角三角形的性質,全等三角形的性質和判定,直角三角形斜邊上中線性質的應用,在本題中需要作輔助線來證明,難度較大.