Question

（2005•寧夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點E在直角邊AC上（點E與A、C兩點均不重合），點F在斜邊AB上（點F與A、B兩點均不重合）．
（1）若EF平分Rt△ABC的周長，設AE長為x，試用含x的代數式表示△AEF的面積；
（2）是否存在線段EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出此時AE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過F作FD⊥AC于點D，則Rt△ADF∽Rt△ACB．根據對應邊的比相等，可以用含x的代數式表示出DF，根據三角形的面積公式就可以得到函數解析式．
（2）三角形ACB的面積可以求出，線段EF將Rt△ABC的面積平分，就可以得到一個關于x的方程，解方程，就可以求出X的值．
解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵EF平分Rt△ABC的周長，AE長為x，
∴AF=-x=6-x，
過F作FD⊥AC于點D，則有Rt△ADF∽Rt△ACB，根據對應邊的比相等，可以得到：
FD=（6-x）
則S_△AEF=-x²+x（1＜x＜3）

（2）當S_△AEF=3時
解之得x₁=，x₂=
∵1＜x＜3
∴x₂=（舍去）
當x=時，6-x=＜5
∴這樣的EF存在．
點評：本題是函數與相似形的性質相結合的題目．主要利用了相似三角形的性質，對應邊的比相等．