Question

探索問題：（1）比較下列數的大�。�

2

3

 

3

4

，

5

13

 

9

17

，

14

23

 

19

28

．
（2）根據上述規(guī)律，可以得出下面的結論：一個真分數

a

b

（a、b均為正數），給其分子、分母同加上一個正數m，得

a+m

b+m

，則這兩個分數的大小關系是：

a

b

 

a+m

b+m

．
（3）請你用文字敘述（2）中的結論：

 

；
（4）請你用圖形的面積說明（2）中結論的正確性．
（5）請你用已學的其他數學知識說明（2）中結論的正確性．
（6）這個結論可以解釋生活中的許多現象，解決生活中許多與數學有關的問題．請你再提出一個類似的數學問題，或舉出一個生活中與此結論相關的例子．

Answer 1

分析：（1）對于第一問的分式大小比較，通過通分比較大�。�
（2）根據第一問的解找出規(guī)律：

a

b

＜

a+m

b+m

求解第二問；
（3）用文字描述第二問得到的規(guī)律，兩正數的比值小于他們同時加上一個正數的比值；
（4）分別以a，b為邊長作矩形，又延長a，b同樣長m，得三矩形面積分別為：ab，am，bm，然后根據長方形的面積比較兩數大��；
（5）利用通分比較兩式的大��；
（6）利用生活中的糖水的濃度問題來比較兩式大小．

解答：解：（1）通過分母通分得到分母相同的分式，然后比較分子大小得出結果．
∴

2

3

＜

3

4

，

5

13

＜

9

17

，

14

23

＜

19

28

；

（2）有第一問的結果可得出規(guī)律：分子分母同時加上一個正數比值變大．
所以：

a

b

＜

a+m

b+m

；

（3）兩正數的比值小于他們同時加上一個正數的比值；

（4）如圖
矩形BEFG和矩形ABCD，
∵a＜b，
∴am＜bm，
∴am+ab＜bm+ab，
即a（m+b）＜b（m+a），
∴

a

b

＜

a+m

b+m

；

（5）將兩分式統(tǒng)分得分母為b（b+m），分子分別為a（b+m），
b（a+m）分子相減得（a-b）m，
由于

a

b

是真分式，
則a＜b，
所以（a-b）m小于0，即

a

b

＜

a+m

b+m

；


（6）一杯糖水共b克，里面含有a克糖，糖的濃度為

a

b

，然后往里放m克糖，
糖的濃度為：

a+m

b+m

，
放入糖后糖水變的更甜了，
所以加入糖后糖的濃度變大了，
所以

a

b

＜

a+m

b+m

．

點評：此題是一個開放性試題，對于學生的要求比較高，首先根據第一問得出規(guī)律，然后用不同的方法證明次推論的正確性．本題意在考查用不同的方式比較兩分式的大小，考查學生的發(fā)散思維．