(2013•黑龍江)已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個(gè)等邊三角形AB1C1,再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個(gè)等邊三角形AB2C2,再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個(gè)等邊AB3C3;…,如此下去,這樣得到的第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為
3
3
4
n
3
3
4
n
分析:由AB1為邊長(zhǎng)為2等邊三角形ABC的高,利用三線合一得到B1為BC的中點(diǎn),求出BB1的長(zhǎng),利用勾股定理求出AB1的長(zhǎng),進(jìn)而求出第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積,同理求出第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積,依此類推,得到第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積.
解答:解:∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2,
根據(jù)勾股定理得:AB1=
3
,
∴第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積為
3
4
×(
3
2=
3
3
4
1;
∵等邊三角形AB1C1的邊長(zhǎng)為
3
,AB2⊥B1C1,
∴B1B2=
3
2
,AB1=
3
,
根據(jù)勾股定理得:AB2=
3
2

∴第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積為
3
4
×(
3
2
2=
3
3
4
2;
依此類推,第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為
3
3
4
n
故答案為:
3
3
4
n
點(diǎn)評(píng):此題考查了等邊三角形的性質(zhì),屬于規(guī)律型試題,熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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