Question

如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1 cm/s，點(diǎn)N的速度為2 cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？

(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？

(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合， 　　x×1＋12＝2x，解得x＝12． 　　故點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)12秒后，M、N兩點(diǎn)重合． 　　(2)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①， 　　AM＝t×1＝t，AN＝AB－BN＝12－2t， 　　∵△AMN是等邊三角形， 　　∴t＝12－2t， 　　解得t＝4， 　　∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN． 　　(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形， 　　由(1)知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處， 　　如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形， 　　∴AN＝AM． 　　∴∠AMN＝∠ANM． 　　∴∠AMC＝∠ANB． 　　∵AB＝BC＝AC， 　　∴△ACB是等邊三角形， 　　∴∠C＝∠B， 　　在△ACM和△ABN中， 　　AC＝AB，∠C＝∠B，∠AMC＝∠ANB， 　　∴△ACM≌△ABN． 　　∴CM＝BN， 　　設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形， 　　∴CM＝y(tǒng)－12，NB＝36－2y，CM＝NB， 　　即y－12＝36－2y，解得y＝16． 　　故假設(shè)成立． 　　∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．