Question

【題目】如圖1，OP是∠MON的平分線(xiàn)，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以OP所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形，并將添加的全等條件標(biāo)注在圖上．

請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線(xiàn)，AD、CE相交于點(diǎn)F，求∠EFA的度數(shù)；

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他條件不變，試問(wèn)在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°（2）FE=FD（3）FE=FD仍然成立

【解析】

在OM、ON上分別截取OB、OC，使OB=OC，分別過(guò)點(diǎn)B、C作OM、ON的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)交于點(diǎn)Q，連接OQ，則△OBQ≌△OCQ；（1）已知∠A CB=90°，∠B=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得．∠BAC=30°．再由AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求得∠DAC=15°，∠ECA=45°．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠EFA=60°；（2）FE=FD，在AC上截取AG=AE，證明△EAF≌△GAF， 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．再證得∠DFC=∠GFC，利用ASA判定△FDC≌△FGC，由此可得FD=FG，從而證得 FE=FD；（3）（2）中的結(jié)論FE=FD仍然成立，證明類(lèi)比（2）的方法完成.

如圖所示，△OBQ≌△OCQ；

（1）如圖2，∵∠ACB=90°，∠B=60°．

∴∠BAC=30°．

∵AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線(xiàn)，

∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ECA=∠ACB=45°．

∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°．

（2）FE=FD．

如圖2，在AC上截取AG=AE，連接FG．

∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中

∵

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．

∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°．

又∵∠DFC=∠EFA=60°，

∴∠DFC=∠GFC．

在△FDC和△FGC中

∵

∴△FDC≌△FGC（ASA），

∴FD=FG．

∴FE=FD．

（3）（2）中的結(jié)論FE=FD仍然成立．

同（2）可得△EAF≌△HAF，

∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．

又由（1）知∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）==60°．

∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°．

∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°．

同（2）可得△FDC≌△FHC，

∴FD=FH．

∴FE=FD．