Question

如圖，⊙E的圓心E(3，0)，半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方)，與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C；直線l的解析式為y＝x＋4，與x軸相交于點(diǎn)D；以C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由；

(3) 動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離.

Answer 1

1)解：連接AE.

   由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，

   在Rt△AOE中，由勾股定理得，

   OA＝＝＝4.

  ∵OC⊥AB，

∴由垂徑定理得，OB＝OA＝4.

OC＝OE＋CE＝3＋5＝8.

   ∴A(0，4)，B(0，－4)，C(8，0).

   ∵拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－8)².

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上解析式，得

64 a＝－4.  故 a＝－.

∴ y＝－(x－8)².

∴ y＝－x ²＋x－4 為所求拋物線的解析式.

(2) 在直線l的解析式y＝x＋4中，令y＝0，得＝x＋4＝0，解得 x＝－，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－，0)；

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，所以點(diǎn)A在直線l上.

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵ ＝，＝，∴  ＝.

∵ ∠AOE＝∠DOA＝90°，∴ △AOE∽△DOA. ∴ ∠AEO＝∠DAO.

∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∴ ∠DAO＋∠EAO＝90°. 即 ∠DAE＝90°.

因此，直線l與⊙E相切于點(diǎn)A.  

(3)過點(diǎn)P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q；過點(diǎn)P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點(diǎn)M.

 設(shè)M(m，m＋4)，P(m，－m ²＋m－4). 則

PM＝m＋4－(－m ²＋m－4)＝m ²－m＋8＝(m－2)²＋.

當(dāng)m＝2時(shí)，PM取得最小值.

此時(shí)，P(2，－).

對(duì)于△PQM，∵ PM⊥x軸，∴ ∠QMP＝∠DAO＝∠AEO. 又∵∠PQM＝90°，

∴ △PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變.

∴ 在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變.

∴ 當(dāng)PM取得最小值時(shí)，PQ也取得最小值.

PQ_最小＝PM_最小·sin∠QMP＝PM_最小·sin∠AEO＝×＝.

所以，當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (2，－)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，其最小距離為