Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．第三邊BC的長(zhǎng)為5，

①若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，求k的值．

②若△ABC是等腰三角形，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①,②k的值為5或4．

【解析】

（1）先計(jì)算出△=1，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；

（2）①先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，再利用勾股定理的逆定理AB2+AC2=BC2建立關(guān)于k的方程，解出k的值，然后滿足兩根為正根的k的值為所求；

②分類討論：AB=k，AC=k+1，當(dāng)AB=BC或AC=BC時(shí)△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．

（1）證明：∵b2－4ac＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解為x＝，即x1＝k，x2＝k+1，

①得；

②∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

當(dāng)AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC時(shí)，△ABC是等腰三角形，則k＝5；

當(dāng)AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC時(shí)，△ABC是等腰三角形，則k+1＝5，解得k＝4，

綜合上述，k的值為5或4．