(2012•青羊區(qū)一模)如圖,分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(C、F兩點(diǎn)在x軸正半軸上).若⊙P過(guò)A、B、E三點(diǎn)(圓心P在x軸上),拋物線y=
18
x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為G,正方形CDEF的面積為4.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)直線AC與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)N,點(diǎn)Q是此對(duì)稱軸上不與點(diǎn)N重合的一動(dòng)點(diǎn).
①求△ACQ周長(zhǎng)的最小值;
②設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t,△ACQ的面積為S,直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出相應(yīng)的t的取值范圍.
分析:(1)如圖甲,連接PE、PB,設(shè)PC=n,由正方形CDEF的面積為4,可得CD=CF=2,根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知:OP=PC=n,由PB=PE,根據(jù)勾股定理即可求得n的值,繼而求得B的坐標(biāo);
(2)由(1)知A(0,4),C(4,0),即可求得拋物線的解析式;
(3)①如圖乙,延長(zhǎng)AB交拋物線于A′,連CA′交對(duì)稱軸x=6于Q,連AQ,則有AQ=A′Q,△ACQ周長(zhǎng)的最小值為AC+A′C的長(zhǎng),利用勾股定理即可求得△ACQ周長(zhǎng)的最小值;
②分別當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí),當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí),當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)去分析即可求得答案.
解答:解:(1)如圖,連接PE、PB,設(shè)PC=n,
由正方形CDEF的面積為4,可得CD=CF=2,
根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知,OP=PC=n,
由PB=PE,根據(jù)勾股定理,得
PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2,
PE2=PF2+EF2=(n+2)2+4,即5n2=(n+2)2+4
解得n1=2或n2=-1(舍去).
∴BC=OC=4,
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4);
(2)由(1)A(0,4),C(4,0),
∵拋物線y=
1
8
x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),
4=c
0=
1
8
×42+4b+c

 解得
c=4
b=-
3
2
,.
∴拋物線的解析式為y=
1
8
x2-
3
2
x+4;
(3)①如圖,延長(zhǎng)AB交拋物線于點(diǎn)A′,連接CA′交對(duì)稱軸x=6于點(diǎn)Q,連接AQ,則有AQ=A′Q.△ACQ周長(zhǎng)的最小值為AC+A′C的長(zhǎng).
利用勾股定理,在Rt△AOC中,AC=
 AO2+OC2 
=4
2
,
在Rt△A′BC中,A′C=
 A′B2+BC2 
=4
5
,
即△ACQ周長(zhǎng)的最小值為4
2
+4
5
;
②直線AC的解析式為x+y-4=0,當(dāng)x=6時(shí),y=-2,由于點(diǎn)Q與N不重合,
∴t≠-2,
當(dāng)t>-2時(shí),
Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí),S=S梯形ACFK-S△AKQ-S△CFQ=
1
2
×(6+2)×2-
1
2
×(4-t)×6-
1
2
×t×2=2t-4,
同理,當(dāng)t<-2時(shí)可得:當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí),S=-2t-4.
點(diǎn)評(píng):此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,圓的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng),題目難度較大,解題的關(guān)鍵是方程思想、分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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8
+(
1
2
-1-4cos45°-(
3
-π)0
(2)先化簡(jiǎn),再求值:
m
m2-1
÷(1-
1
m+1
)
,其中m=-2.

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1
2
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1
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