Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y=a（x+1）²+c（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，若直線(xiàn)MC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx-3，與x軸的交點(diǎn)為N，且cos∠BCO=

3 10

10

．
（1）求此拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在此拋物線(xiàn)上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使以N、P、C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)MC于點(diǎn)Q．若將拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸上下平移，使拋物線(xiàn)與線(xiàn)段NQ總有公共點(diǎn)，則拋物線(xiàn)向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)MC的函數(shù)式不難得出C點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（0，-3），即c=-3，那么要求拋物線(xiàn)的解析式還缺少一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可根據(jù)OC=3，以及∠BCO的余弦值在直角三角形BCO中運(yùn)用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，也就得出了B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，那么要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)PN是另外一條直角邊時(shí)，可先求出直線(xiàn)MC的函數(shù)解析式，然后確定出N點(diǎn)的坐標(biāo)，如果PN與y軸的交點(diǎn)為N，那么直角三角形CND應(yīng)該是個(gè)等腰直角三角形（∠OCN=45°），因此可求出OD的長(zhǎng)，也就得出了D的坐標(biāo)，然后可確定出直線(xiàn)PN的解析式，然后聯(lián)立拋物線(xiàn)和PN所在直線(xiàn)的解析式即可求出此時(shí)交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②當(dāng)PC是另外一條直角邊時(shí)，連接AC可發(fā)現(xiàn)，AC⊥CN（∠ACO=∠NCO=45°），而C點(diǎn)又正好在拋物線(xiàn)上，因此P與A重合，那么P點(diǎn)的坐標(biāo)就是A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）①先求上移的單位，可先設(shè)出平移后的二次函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立拋物線(xiàn)和直線(xiàn)NQ即MC的解析式，然后可得出一個(gè)一元二次方程，要想使兩函數(shù)有交點(diǎn)，那么△≥0，以此可求出平移單位的取值范圍，也就可求出最大的平移值．
②要求向下平移的最大單位，可求出當(dāng)Q，N正好在拋物線(xiàn)上時(shí)，b的取值，那么根據(jù)MC的直線(xiàn)解析式，可得出Q，N點(diǎn)的坐標(biāo)，那么當(dāng)Q，N正好在拋物線(xiàn)上時(shí)，可用Q，N得出b的值，然后即可求出向下平移的最大單位．

解答：解：（1）∵直線(xiàn)MC的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx-3．
∴點(diǎn)C（0，-3）
∴cos∠BCO=

|OC|

|BC|

=

3 10

10

=

3

10

∴可設(shè)|OC|=3t（t＞0），|BC|=

10

t
則由勾股定理，得|OB|=t
而|OC|=3t=3，
∴t=1
∴|OB|=1，
∴點(diǎn)B（1，0）
∵點(diǎn)B（1，0）C（0，-3）在拋物線(xiàn)上
∴

4a+c=0 a+c=-3

，
解得

a=1 c=-4

，
∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=（x+1）²-4=x²+2x-3．

（2）假設(shè)在拋物線(xiàn)上存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使以N，P，C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形，
①若PN為另一條直角邊
∵點(diǎn)M（-1，-4）在直線(xiàn)MC上，
∴-4=-k-3，即k=1
∴直線(xiàn)MC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3
易得直線(xiàn)MC與x軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（3，0）
∵|OC|=|ON|
∴∠CNO=45°
∴在y軸上取點(diǎn)D（0，3），
連接ND交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P
∵|ON|=|OD|
∴∠DNO=45°
設(shè)直線(xiàn)ND的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n
由

3m+n=0 n=3

得

m=-1 n=3

∴直線(xiàn)ND的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3
設(shè)點(diǎn)P（x，-x+3），代入拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式，
得-x+3=x²+2x-3，
即x²+3x-6=0
解得x₁=

-3+ 33

2

，x₂=

-3- 33

2

∴y₁=

9- 33

2

，y₂=

9+ 33

2

∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)為P₁（

-3+ 33

2

，

9- 33

2

），p₂（

-3- 33

2

，

9+ 33

2

）．
②若PC是另外一條直角邊
∵點(diǎn)A是拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）
連接AC，∵|OA|=|OC|，
∴∠OCA=45°，又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°，
∴點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)p₃（-3，0）
綜上所述，在拋物線(xiàn)上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，有3個(gè)，
分別為：P₁（

-3+ 33

2

，

9- 33

2

），p₂（

-3- 33

2

，

9+ 33

2

），p₃（-3，0）．

（3）若拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸向上平移，
設(shè)向上平移b（b＞0）個(gè)單位可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=x²+2x-3+b
由

y=x2+2x-3+b y=x-3

，
得x²+x+b=0．
∴要使拋物線(xiàn)與線(xiàn)段NQ總有交點(diǎn)，
必須△=1-4b≥0，即b≤

1

4

，
∴0＜b≤

1

4

∴若拋物線(xiàn)向上平移，最多可平移

1

4

個(gè)單位長(zhǎng)度．
②若拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸向下平移，設(shè)向下平移b（b＞0）個(gè)單位
可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=x²+2x-3-b
∵當(dāng)x=-3時(shí)，y=-b，當(dāng)x=3時(shí)，y=12-b
易求得Q（-3，-6），又N（3，0）
∴要使拋物線(xiàn)與線(xiàn)段NQ總有交點(diǎn)，必須
-b≥-6或12-b≥0，即b≤6或b≤12
∴0＜b≤12
∴若拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸向下平移，最多可平移12個(gè)單位長(zhǎng)度
綜上可知，若拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸向下平移，使拋物線(xiàn)與線(xiàn)段NQ總有公共點(diǎn)，
則向上最多可平移

1

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，向下最多可平移12個(gè)單位長(zhǎng)度．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是在于根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)平移后解析式的變化情況，
要注意的是（2）中要分另一條直角邊的不同進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．