Question

【題目】將一副三角尺如圖①擺放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）．點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），此時(shí)的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴CD=AD=BD= AB，

∴∠ACD=∠A=30°，

∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，

∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°

（2）解：∵∠EDF=90°，

∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，

∴∠PDM=∠CDN，

∵∠B=60°，BD=CD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BCD=60°，

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，

∴∠CPD=∠BCD，

在△DPM和△DCN中，

，

∴△DPM∽△DCN，

∴ ．

【解析】（1）首先證明∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據(jù)∠ADE=∠ADC﹣∠EDF計(jì)算即可得解；（2）只要證明△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明．
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．